课程视频地址:
http://open.163.com/movie/2010/11/7/3/M6V0BQC4M_M6V29E773.htm
课程笔记转自以下地址(加上一些个人见解的补充):
http://nbviewer.jupyter.org/github/zlotus/notes-linear-algebra/blob/master/chapter01.ipynb
简书好像没有输入公式的语法?所以方程组和矩阵都截图贴过来了。。。
1. 方程组和 “行图像” 和 “列图像”
- 行图像
我们从求解线性方程组来开始这门课,从一个普通的例子讲起:方程组有2个未知数,一共有2个方程,分别来看方程组的“行图像”和“列图像”。
有方程组:
写作矩阵形式有:
通常我们把第一个矩阵称为系数矩阵A,将第二个矩阵称为向量x,将第三个矩阵称为向量b,于是线性方程组可以表示为Ax=b。
那么,在直角坐标系中,这个方程组的行图像可以表示为:
在二维直角坐标系中,每个方程代表一条直线。上图是我们都很熟悉的直角坐标系中两直线相交的情况,相交的点即是方程组的解。
- 列图像
接下来我们按列观察方程组:
我们把第一个向量称作col1,第二个向量称作col2,以表示第一列向量和第二列向量,要使得式子成立,需要第一个向量加上两倍的第二个向量,即:
在二维平面上画出上面的列向量(即方程组的"列图像"):
如上图,绿向量col1与蓝向量(两倍的蓝绿向量col2)合成红向量b。
col1,col2 的某种线性组合得到了向量b,那么col1,col2的所有线性组合能够得到什么结果?它们将铺满整个平面。
2. 三个未知数的方程组
有方程组:
写作矩阵形式:
在三维直角坐标系中,每一个方程将确定一个平面,而例子中的三个平面会相交于一点,这个点就是方程组的解。
同样的,将方程组写成列向量的线性组合,观察列图像:
这里是教授特意安排的例子中最后一个列向量恰巧等于等式右边的b向量,所以我们需要的线性组合为x=0,y=0,z=1。假设我们令:
则需要的线性组合为x=1,y=1,z=0。
我们并不能总是这么轻易的求出正确的线性组合,所以下一讲将介绍消元法——一种线性方程组的系统性解法。
3. 方程组是否都有解?
现在,我们需要考虑,对于任意的b,是否都能求解Ax=b?用列向量线性组合的观点阐述就是,列向量的线性组合能否覆盖整个三维向量空间?对上面这个例子,答案是肯定的,这个例子中的A是我们喜欢的矩阵类型,但是对另一些矩阵,答案是否定的。那么在什么情况下,三个向量的线性组合得不到b?
如果三个向量在同一个平面上,问题就出现了——那么他们的线性组合也一定都在这个平面上。举个例子,比如col3=col1+col2,那么不管怎么组合,这三个向量的结果都逃不出这个平面,因此当b在平面内,方程组有解,而当b不在平面内,这三个列向量就无法构造出b。在后面的课程中,我们会了解到这种情形称为奇异、矩阵不可逆。
下面我们推广到九维空间,每个方程有九个未知数,共九个方程,此时已经无法从坐标图像中描述问题了,但是我们依然可以从求九维列向量线性组合的角度解决问题,仍然是上面的问题,是否总能得到b?当然这仍取决于这九个向量,如果我们取一些并不相互独立的向量,则答案是否定的,比如取了九列但实只相当于八列,有一列毫无贡献(这一列是前面列的某种线性组合),则会有一部分b无法求得。
4. 矩阵乘以向量的计算
接下来介绍方程的矩阵形式Ax=b,这是一种乘法运算,举个例子,取
来看如何计算矩阵乘以向量:
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一种方法是,使用列向量线性组合的方式,一次计算一列:
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另一种方法,使用向量内积,矩阵第一行向量点乘x向量(如何点乘?百度一下,你就知道):
教授建议使用第一种方法,将Ax看做A列向量的线性组合。