阿基米德是古希腊时期西西里岛叙拉古国王的亲戚。

有一天，阿基米德陪国王下棋。国王嫌只下棋无聊，就想与阿基米德赌点什么。赌什么呢？国王想了想：这样吧，如果我赢了，你就给我做一辈子长工。阿基米德同意了，然后指着国王家的粮仓：要是我赢了，你就在棋盘格子里放上米粒。国王感觉好奇，就问如何放？阿基米德说：“棋盘一共这么多格子，你要是输了，就在第一个格子里放一粒米，第二个格子里放两粒米，第三个格子里放四粒米，以后每个格子放的米粒数都是上一格子的二倍，放完就行了。国王不加思索的答应了，还欣然吩咐手下拟订协约让阿基米德签定。下棋的结果是阿基米德赢了。国王兑现承诺，他让皇宫里的人聚到棋盘边作证，让厨房的仆人取来一磅重的米粒。阿基米德笑着对仆人说：“你该回厨房换一大袋子的米。”宫里的人都大笑起来，以为这话是阿基米德在自我解嘲。仆人开始在棋盘上摆米粒，下一格的米粒数都翻倍。第一排8个格子放满时，米粒增至128粒。旁观者大笑着。放到第二排中间时，笑声渐渐被惊讶声取代，因为小堆的米已增至小袋的米，然后倍增至中袋的米，再倍增至大袋的米。到第二排结束时，国王才意识到自己犯了大错。他粮仓里的米用完时，仍欠第16个格子32768粒米。这时还有48个格子空着！国王终止了游戏，他召来全国最聪明的数学家。数学家们打着算盘计算了好长时间，最后得出一个不可思议的结论：一粒米在64格的棋盘上每下一格倍增放置，总共需要1800亿兆粒米，总数相当于全世界米粒总数的十倍。

这个故事，国王失误的原因在于现实直观与想象直观出现了脱节，也就是说国王头脑中根本不存在几何倍数递增的米粒数与现实米粒所需对应空间关系的问题。 

什么是现实直观与想象直观？我这样给予定义：想象直观与现实直观统称为直观。但想象直观存在于意识，现实直观通过客观存在被我们的意识感知。这两者一个想象于大脑，一个存在于现实，两者必须要一致（数物对称）。

有人说这个故事是在褒奖阿基米德，相信没有人不会不同意；如果有人说是在鞭笞国王，恐怕会有另外人反对，因为叙拉古国王海厄洛二世绝非腐朽昏庸之辈。那么这个故事究竟是在赞美阿基米德聪明、智慧，还是在鞭挞国王无知、愚昧？我以为都不是。我们好多人考虑问题时意识里多存在两种观点，比如要颂扬阿基米德，则一定是在鞭笞国王；因为只有鞭笞愚昧，才能彰显智慧；只有彰扬聪明，才能斥责愚昧。

数据的处理要以客观现实为依据，清楚数据就要清楚数据的现实空间。在国王的大脑里，因不存在棋盘64格倍增米粒数占据的空间被传为笑柄。1800亿兆绝对是常人无法理解的天文数据。     

数物对称击碎了许多憧憬智男慧女的家长。好多家长在小学中年级阶段对孩子的数学学习失去了耐心，这样影响了孩子正常的智力成长，也影响到孩子正常性格及健康心态的形成。

加法难点在进位，减法难点在退位，乘法难点在小数乘积点位的确定，除法难点在除数是小数商的定位。大数的认识会跌倒许多直观概念没建立的孩子。除天赋聪慧的孩子，多数都需要适时点拨。

必要的点拨不可或缺，更重要的是开启孩子的悟性。  悟性是认知与感知的重构和升华。悟性高的人推理归纳能力强，思维演绎眼界宽，由现象到本质的感知力高。成绩优秀的学生大多悟性较高。

我对学生数学作业的要求有四点：洁、对、快、新。洁是字迹干净、整洁；对是做题格式规范、结果正确；快指做题速度，新是解法新颖。我强调新颖。如果学生解应用题多用算术法，某学生用方程解我就高兴；如果学生多从量的角度解题，某学生从率的角度考虑我会给予表扬。培养学生悟性，让学生能从一个问题参悟该题类型解法就提高了悟性。

我讲应用题套路（求解问题的思路、方法）基本一样，其目的是让学生形成惯性解题思路不被分数至上的录取体制淘汰，但我更注重学生的发散思维，有时我会用整节课向学生讲述某数学家的故事或某数学家解决某数学问题的思路与方法，以求开启学生悟性。

给学生惯性思维以求其精，给学生发散思维以求其聪，讲名家思路、方法以求其借鉴，赏识学生新颖做法以求其进取、竞胜。

“如果说我看得更远，那是因为我站在巨人的肩膀上。”牛顿是谦逊的，话里包蕴了许多哲思。

从直观起步，培养孩子悟性，通过认知的再造、重构、升华，进而启诱孩子聪慧，开启并提高孩子的悟性。