在生活中，我们或许因为我们的细心观察而发现了许许多多的有趣的生活现象，那么在研究几何图形的时候，我们是否也能发现一些有趣的现象呢？

现在看这张图片，在这张图片之中，我们能发现什么？这些图形有些是一类图形，但是他们大小又不同，这些图形很有趣，他们仿佛是用某个作图软件把它扩大了一定的倍数。

这样的图形，我们如何对他进行命名呢？这些图形不是相等，但也不是完全没有共同之处，那就取一个较为适中的词，叫他相似。

命名之后我们就对这对图形进行定义了，当时经过了一系列的测量与逻辑推理之后归纳总结出了相似图形的定义，而我们这张主要研究的是相似三角形，相似三角形的定义就是对应角相等对应边成比例有两个三角形，它们的对角相等，且对应边成比例，那么这两个三角形的关系就是相似。

既然我们对这种看起来相似的图形近定义这些图形就有怎样的性质呢？

说到相似三角形的性质，我们需要想想相似三角形可能有哪些性质，并对这些性质进行猜想。在一个三角形中，三角形的中线角平分线以及三个边三个角周长一面积是一个三角形中必不可少的一些要素。而在相似三角形中这些要素是否具有某种关系呢？

（相似三角形的对应边成比例对应角相等，我们可以从定义得来，所以我们就不对它们做研究了）

那么相似三角形之间的高又有什么关系呢？首先他们的位置关系肯定不是确定的，所以我们就猜想数量关系，我们也不可能凭空猜想倍数，我们也不知道从哪里下手。可是竟然是两个相似三角形的高，那么高之间的比例关系，有没有一种可能就是边的比例关系呢？

有了以上的猜想，我们就开始证明，但是我们似乎只知道这两个三角形相似，我们的证明好像无从下手。因为我们的目的是想把这条高与整个三角形的边之间串起来。，也就是说，这样我们能想办法证明这个构造的两个小直角三角形是相似的，我们就可以证明出高之比等于相似之比。

如此学习性质在学习判定反而是先学习判定在学习性质的，请大家注意，这一点很重要。在我们研究函数关系，或者说几何图形的时候性质学习判定，所以我很刻意的呈现出这种思过程。

那么我们现在无非就是证明出那些判断相似的定理，但是我们根本就不知道无法证明。其实我们就可以想一想相似与全等之间的关系，而我们为什么要这样想？因为如果我们知道了相似以全等之间的关系，那么我们就可以从全等的思路中得来点什么。是对应和对应角都相等，对应角相等对应边成比例而当对应边的比例是一比一的时候，此时两个三角形不就全等了吗？所以全等是包含在相似之中的全等是特殊的相似，此时我们或许可以借用全等思想来帮助我们得到一些判定定理。

比如说那些熟知的判定定理， SSS 、 SAS 、 AAS 、 Asa 还有 HL ，我们想想这些定理怎么去证明呢？

而当我们去尝试证明的时候，我们发现根本无法证明，因为全等说的是边完全相等，m是别人之间的比相等，水从某种角度来讲，全能与相似是有这种特殊的关系，但他们的证明方式根本无法进行类比。那么此时我们该如何证明相似呢？我们根本就没有起点。因为相似不是等量，这对于我们来说是一个全新的概念。

此就是缺少一个公里，既缺少公里，我们就创造一个起点，因为全等和相似的特殊就在边上，一个是边的完全相等，一个是边的比例，此时我们要能很好地解决比例的问题，那么就与全等大差不差了。

而这个公里就是平行线分线段成比例如图所示，假如说一个小格等于那么A A二比上AA三是否等于B B上B B三了？长度我们就可以根据勾股定理进行求解，而经过多次的实验，我们发现平行线分线段既然是成比例的。在思考这个问题的时候，我在脑海里已经根据图像形成了三角形。脑海里已经得到了一些椅子条件。

如果我们把这种定理放在一个三角形中，我们就可以得到一个结论，就是平行三角形，一边且相交于另外两边的直线所截的线段成比例。如图所示，在这个三角形中，A1 A2 比上 A1 A3 等于 A1 B2 比上 A1 B3。此时由于A 2B二平行于A 3B三，所以同位角相等，顶角也相等，此时，从角的角度来讲，已经满足了定义而只剩一个三角形的底边就可以符合定义我们只需要证明这个底边之比等于三角形的两个斜边之比，那么它满足了定义也就能证明这两个三角形相似。

如图所示，在三角形ADE中，我们做的平行线B C此时我们可以得到两个三角形ABC与ADER这两个三角形由于平行还有顶角相等，得到了三组对应角相等，由于我们刚刚读出来的结论，平行于三角形，一边且相交于另外两边的直线所截的线段成比例，我们可以得到A B比AD等于AC比AE，这是我们向证明BC比DE等于AC比AE，我们做了辅助线CF，并且CF平行于A B，所以我们可以得到DF比DE等于AC比AE，因为两个平行线段，所以构成了BC等于平行四边形，从而证明了DF等于BC，因为DF比DE等于AC比AE且D

那么我们看两个边成比例且夹角相等的两个三角形是否相似？这其实很像全等的S S，但是请注意，我并没有说全等中的判定定理不能迁移，而是在我们没有公理的情况下直接使用是完全毫无头绪，无法证明的这一点极为重要，这说明了公里的创造的重要性。

而我们的已知就是说在三角形ABC与三角形A撇B/C中AD比AB等于A/B撇AEBAC等于A/cBAC角A等于角A撇，那么此时我们应该如何证明这两个三角形相似呢？

首先因为第一平行B C，所以三角形ADE相似于三角形ABC，所以AD比AB等于于AE比AC用，因为A撇B撇比上AB等于AC撇比上AC，所以AD等于AB，所以AE等于C为角A等于角A撇，所以三角形ADE等于三角形A撇B/C撇用因为三角形ADE相似于三角形ABC，所以三角形ABC相似于三角形A撇B撇C撇。

此时我们就证明出来了，结论就是两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。我们之后也可以用它来证明两个三角形相似。

那么三边成比例的两个三角形是否相似呢？这也很像全等的SSS。

首先我们的已知就是三边成比例，而我们要求证的就是三角形ABC相似于三角形A片 B撇C卡。因为第平行于C，所以三角形ADE相似于三角形ABC，所以AD比AB等于AE比上AC等于DE比BC用为ABB上AB等于A撇C比上AC等于B/C片上BCCAD等于A/B方 E等于ACE等于BC三角形ADE等于三角形撇B/C撇用，因为三角形ADE相似于三角形ABCC三角形ABC相似于三角形A撇B撇C撇。此时我们就可以探究性质了。

再回到刚刚我们遇到的问题，现在有了以上的猜想，我们在分析我们的已知条件，我们的已知条件是在两个相似的三角形中做高，做了高之后又能出现两个直角三角形，因为做了高，所以出现了两个相等的直角为因为两个三角形本身就相似，所以出现了一个对应的等角，因为三角形的内角和等于180度，所以三毛相等证明出两个直角三角形相似，证明相似之后对应边之比包含了之前大三角形的边，又包含了大三角形的高，而他们就是相似的

那角平分线之比呢？当然我们在的时候跟前面一样毫无头绪，所以角平分间之比也可能等于相似之比，此时我们的已知就是两个相似的三角形之后，我们再做角平分线，的角平分线之后，我们得到的两个小三角形可以知道一个等角相似，还有之前相似三角形的二分之一相似，还有相似。

那么中线呢，我们也猜想他们的中线制等相似

当我把三角形内的线段都证明出来的时候，我们能不能发现他们的一些共同之处，我们至少你能证明出来都是这些现状的特殊性质导致了构造出来的小三角形中可以相似，比如说相似三角形内的高给了我们等角三角形内的角平分线我们等角，构造出来的小三角形给了我们等比线段都可以帮我们包含中线高角平分线的小三角形相似，而这些三角形要连接着整个大的相似三角形的边，从而证明了相似。

那么周长呢？既然变的比都相似了。那么周长也可能会相似。

我们继续分析我们的已知条件，已知条件当然就是两个相似的三角形，你可以从图上看出我们如何表示这两个三角形，左边三角形的三边为AKBK和CK右边三角形是ABC，而当我们用大三角形的边比少三角形的边是我们会发现相似比为K，而我们用大三角形的周长在B小三角形的周长相似，所以通过这个普遍的相似三角形我们可以看出相似三角形的周长比就等于相似三角形的相似比。

面积也一样，用AK乘BKH比上A乘H，结果并不是，而是K D，也就是相似比的平方。

而这以上也就是相似三角形的性质

研究完的性质与判定整个相似三角形，我们也是探究的较为透彻，但很多同学会认为相似三角形真的实用吗？如果他不使用，我们为什么还要学习它？有一些同学可能会认为他很实用呀，我们在做实践活动的时候还用他来测量了国旗杆的长度。

如果要回答是否使用的话，那么我给出的回答就是不实用。

我为什么这么讲？大家都会想数学有什么用？数学是一门语言，其实数学从某种角度上讲很抽象。但是数学假门会从实际生活中把实际模型抽象成数学模型，我想请问：如果你想在实际生活中把你的从各种媒介所获的的灵感抽象成为一种你自己的游戏，那么你会追求它的实用性吗？显然不会，无论我们是否把它抽象出来，重要是你在研究自己的东西，所以从自我发明的角度而言，它一定不会过度追求实用性。我们在学习的是数学的思维，是另一种语言。所以我再次强调，数学之本源。我相信这是学习任何一门学科都应有的思维方式。所以我在这里讲的不仅仅是数学，我讲的其实是哲学