师生轻松教学法体系“大数学教学观”构建经验谈

          我的“大数学教学观” ----关于一元二次方程定义教学设计与意图简述

  前一天先布置学生们预习一元二次方程第1节内容，具体是三个任务:一是阅读教材，画重点，画自认为应该记的东西和问题，书中练习不做；二是阅读《学练优》中《我的笔记》其中涉及到的题要做，并做《学练优》单元练习中的基础部分一一知识点分类练，这有助于学生把握所学内容的全貌；三是看洋葱数学视频并做对应练习题。

第二天讲课时我先介绍整个一元二次方程这一章知识框架，让学生整体把握，有利于明确学习的方向。再谈一下学习方程（组）的有关章节知识，不要分割开来都充当新知识一章一章的学习，而要统观整个初中阶段和高中阶段甚至整个数学学习生涯当中的方程（组）的学习内容，把它看成一个大章节来学习。那么学习方程（组），大体的思路是什么呢？在此我以学过的一元一次方程和分式方程还有二元一次方程组举例说明。任何人在讲这新学这一章内容的时候，大致思路是这样的:第一步肯定要先介绍所学方程（组）的定义。通过1-3道题的实际问题，让同学们设未知数，列出来方程（组）。然后引导同学们观察，所列的三个方程（组）有什么样的共同特点？从而概括出来，什么是一元一次方程？什么是分式方程？什么是二元一次方程组?并把相关的概念在此一并介绍，例如，一般式是什么样子的？方程（组）的解是怎么一回事儿？第二步教你如何解方程（组）？第三步，把实际问题，转化成数学模型，也就是所谓的列方程（组）解应用题。这就是，方程（组）的学习思路，也可以称作为方程（组）学习的三步曲儿。

  今天，我们学习的一元二次方程，就可以按照这样的三部曲来进行学习，其实也正是按照这样的三部曲进行学习。而且这其中的很多学习内容都是相类同的，比如说方程的解的概念，这个问题就是类同的，还有列方程或方程组解应用题，思路也是类同的。用什么样的招法解方程或方程组，求它的解，才是我们新学习的内容。在此我们可以再画一个延长线，将来到了高中的时候你们会学到，二元二次方程组以及指数方程、对数方程、复数方程等知识，它们都可以按照这样的三部曲进行学习。    按照我的“大数学教学”观点来教学，同学们，可以感受到，这样去学方程（组）是不是很轻松啊？这种方式学习数学就没有那么累啦。

  具体到讲课我用了一个现代身边生活的例子引课来引起学生们的兴趣，开始了本章的学习之旅。引例:有一个QQ群，每两个人之间发一条消息，本群共发了28条消息，请问本群共有多少人?布置任务，让同学们思考如何设未知数列方程。不一会儿同学们列出了方程，老师在订正过程中借势就交待出了所学新知:一元二次方程定义、一般形式。如何求得这个问题的答案，这就涉及到解方程，如何求得方程的解呢?我们知道能够使得方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，通过观察学生容易猜到问题的答案。此时老师指出并不是所有问题我们都能轻松得出，那就需要我们研究解法，从而引出本章主要的新内容是怎么解一元二次方程，其它内容比如定义，列方程都与前面学过的一元一次方程类同。老师把如此的知识交待给学生，学生也被感染着，学习是轻松愉悦的。

  随后引领学生研究了一元二次方程的四种解法。

  一、直接开平方法

  向学生挑明，研究问题的一般方法是从简单到复杂，所以我们研究解法先从简单开始。提问学生最简的一元二次方程是什么?经讨论x²=1比较简单。怎么求解，讨论后大家一致认为利用平方根定义直接开方就可，这就很自然交待了什么是直接开平方法解一元二次方程。老师再引导同学们有梯度地练习巩固即可。

  二、配方法

  不能直接开平方法解一元二次方程怎么办?例如:X²+2Ⅹ=1，经引导得出了可配成直接开平方法的形式再利用直接开平方法，这实质上就是我们要学的配法解一元二次方程，通过几个的子引导总结出比书上或资料上还县体的解法步骤:不是一般式要先化成一般式，在化成一般式的前提下①二次项系数化1；②一次项系数移右边；③方程两边都加一次项系数一半的平方；④方程左边写成完全平方形式；⑤直接开平方；⑥写成两个一元一次方程；⑦求解。这样的解题步骤易于操作和把控。实际效果很好!

  三、公式法

  配方法的讲解也是从简单到复杂，当学生们练得很熟都掌握了的情况下，让学生利用配方法解一般形式的一元二次方程，即aⅹ²+bx+c=0 （a≠0），当学生解得浑天地暗的时候，老师再在黑板上引导学生一起来一遍，学生的得与失，苦辣酸甜，个中滋味就全在其中了。这样做学生的印象比较深刻，有利于后继的学习。教学的实际情况也是如此。经过上面的演算，老师引导讲解得出公式法解一元二次方程的求根公式。说到公式它的学习通法在此也向学生传达了一种学习的思想方法，那就是:学公式可从三个层面去理解:一是公式自我推导一遍；二是公式字母表达式的准确记忆；三是公式的文字语言表述。

  四、因式分解法

    由简单到复杂，讲解顺序依次为:提公因式法、平方差公式、完全平方公式、pq公式、十字相乘法。

  当所有的解一元二次方程的方法学完之后，要向学生指明方法的最优选择。首先看能不能用直接开平方法，不能，再看能不能用因式分解法，因式分解法一般分两种情形来思考，一种情况给的方程不化一般式能否分解因式；第二种情况化成一般式后，如果缺常数项，直接提公因式法最简单。如果一个一般形式的一元二次方程，其中方程左边是个二次三项式形式我们要先看能否用完全平方公式法，再看能否用十字相乘法，最后才选择配方法，若二次项系数化1后，一次项系数为偶数，一般用配方法好，否则一般采用公式法。

  讲完四种解法后，学生也都把解法练熟了之后，就直接布置了列方程解应用题的内容，通过订正题的过程中充分体现了“学习的过程就是边学习边总结的过程”我们总结讲解了六大类型题。使学生对常见应用题的类型有所把控，有法可依。

  应用题讲完后，回头再讲解根与系数的关系。为什么这样安排?因为按照教材安排讲完四种解法，要讲根与系数关系，这样容易让学生感觉乏味，或者造成相近知识的互相干扰。

  旧话重提，我们知道一元二次方程求根公式是X=-b±√b²-4ac/2a，它的两个根分别为X1=-b+√b²-4ac/2a和X2=-b-√b²-4ac/2a，这两个根请同学们分别做一下加法和乘法看有什么发现，通过教师引导，共同得出了根与系数关系的字母表达式ⅹ1+x2=-b/a，x1×Ⅹ2=C/a.它们的语言表述也强调让学生记熟。其实在这里的新知学习也渗透了我给学生总结的学公式的三方面:①熟推导②会默写（字母公式）③能表述。

  最后练习一套本章综合卷，让学生见识一下本章知识运用形式，再正式的测试一套测试题，这样增强学生信心，效果会好!