2021-04-14 排列解题技巧（一）优先法与排除法

排列的技巧（一）

优先法

  • 位置优先：特殊位置优先排，其余位置随便排

    例题

    7个人站成一排，甲不站排头，乙不站排尾，共有多少种不同的站队方法？
    解：
    特殊位置是排头与排尾，优先安排排头，再安排排尾，其余位置随便排列。
    分类1：乙XXXXXX
    当乙站在排头时，排尾不受乙的影响，所以A_{6}^{6};
    分类2：OXXXXXO
    当乙不站排头时，要先从甲乙以外的其余5人中选一人站在排头A_{5}^{1}，再从除乙和排头以外的5人中选一人站在排尾A_{5}^{1}，其余位置随便排，所以A_{5}^{1}A_{5}^{1}A_{5}^{5}
    综上，总的方法数为A_{6}^{6}+A_{5}^{1}A_{5}^{1}A_{5}^{5}。

  • 元素优先：特殊元素优先排，其余元素随便排

    例题

    7个人站成一排，甲不站排头，乙不站排尾，共有多少种不同的站队方法？
    解：
    特殊元素为甲与乙，优先安排甲，再安排乙，其余元素随便排列。
    分类1：XXXXXX甲
    当甲站在排尾时，乙不受位置的影响，所以A_{6}^{6};
    分类2：XXXX甲XO
    当甲不站排尾时，要先从中间5个位置中选一个给甲A_{5}^{1}，乙在除去排尾和甲以外的5个位置中任选一个A_{5}^{1}，其余位置随便排，所以A_{5}^{1}A_{5}^{1}A_{5}^{5}.
    综上，总的方法数为A_{6}^{6}+A_{5}^{1}A_{5}^{1}A_{5}^{5}。

排除法

  • 正难则反，先计算总数量，再从总量中减去不符合要求的排列数量

    例题

    7个人站成一排，甲不站排头，乙不站排尾，共有多少种不同的站队方法？

    解：
    - 第1步：所有元素任意排列A_{7}^{7};
    - 第2步：甲在排头的所有站队方法有A_{6}^{6};
    - 第3步：乙在排尾的所有站队方法有A_{6}^{6};
    - 第4步：甲在排头且乙在排尾的方法被重复计数A_{5}^{5};
    - 第5步：总方法数为A_{7}^{7}-A_{6}^{6}-A_{6}^{6}+A_{5}^{5}。

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