微波技术学习总结（一）

为了了解与传输线有关的一些理论，我学习了一些有关微波技术的知识。为了不把知识还给书本，我将所学到的、能用到的东西简要地总结一下。

什么是微波？

微波是波长在 1m ~ 0.1 mm 范围内的电磁波。波长范围跨越了四个量级，因此四个量级又可以细分为分米波、厘米波、毫米波、亚毫米波。

微波的波长短，频率高，能够穿透电离层，因此可以进行宇航通信。同时，微波也具有波粒二象性。

传输线方程

传输线一共有四个分布参数：分布电阻 $R_0$ 、分布电导 $G_0$ 、分布电感 $L_0$ 和分布电容 $C_0$ 。

传输线方程的形式是

$\begin{cases} \frac{d U(z)}{dz} = - Z I (z) \\ \frac{d I(z)}{dz} = - Y U (z) \end{cases}$

其中 $Z = R_0 + j \omega L_0$ 为单位长度的串联阻抗， $Y = G_0 + j \omega C_0$ 为单位长度的并联导纳。传输线方程经过变换，可以变为如下的波动方程形式

$\begin{cases} \frac{d^2 U(z)}{dz^2} - \gamma ^2 U(z) = 0 \\ \frac{d^2 I(z)}{dz^2} - \gamma ^2 I(z) = 0 \end{cases}$

其中 $\gamma = \sqrt{(R_0 + j \omega L_0)(G_0 + j \omega C_0)} = \alpha + j \beta$ 被称为传输线的特性阻抗。这是一个标准的二阶齐次微分方程，它的通解很容易求出。这里不再赘述这个方程在各种边界条件下的解。只需记住以下几个传输线参数：

$\text{特性阻抗} \quad Z_0 = \sqrt{\frac{R_0 + j \omega L_0}{G_0 + j \omega C_0}} \\ \text{相速度} \quad v_p = \frac1{\sqrt{L_0 C_0}} \\ \text{相波长} \quad \lambda_p = \frac{\lambda_0}{\sqrt{\varepsilon_r}}$

理想导波系统的理论

导波系统中的电磁波一般可以分为横向分量和纵向分量

$\vec{E} = \vec{E}_T + \vec{E}_z \\ \vec{H} = \vec{H}_T + \vec{H}_z$

导波系统中的电磁波可以分为 TM 波（电场无纵波成分）、TE 波（磁场无纵波成分）、TEM 波（电场和磁场均无纵波成分）。

TM 波的理论

既然导波系统传输的是电磁波，那么理论的出发点肯定是麦克斯韦方程组。经过一系列推导后，我们将求 TM 波分布的问题，转换成了求导波系统中的电位函数 $\phi$ 以及纵向电压分布 $U(z)$ 的问题。电磁波的电场和磁场就可以表示为

$\vec{E_T} = - U(z) \vec{\nabla}_T \phi \\ \vec{H_T} = I(z) \vec{\nabla}_T \phi \times \vec{\alpha}_z \\ E_z = - \frac{I(z)}{j \omega \varepsilon} \vec{\nabla}_T^2 \phi \\ \text{其中} \quad I(z) = - \int j \omega \varepsilon U(z) dz$

那么怎么求 $\phi$ 和 $U(z)$ 呢？他俩满足这个方程：

$\vec{\nabla}_T^2 \phi + k_c^2 \phi = 0 \\ \begin{cases} \frac{d^2 U(z)}{dz^2} - \gamma^2 U(z) = 0 \\ \frac{d^2 I(z)}{dz^2} - \gamma^2 I(z) = 0 \end{cases} \\ \text{其中} \quad k^2 = \omega^2 \mu \varepsilon \\ k_c \, \text{由波导的边界条件决定}$

其中下面那个方程组是不是有点眼熟？没错它和传输线方程的形式是一致的。而上面的那个用来求电位函数方程可以求出电磁波在横截面上的分布，这一点传输线方程就做不到了。除此之外，TM 波的边界条件为

$\phi |_{C} = 0$

TE 波的理论

与 TM 波类似的，TE 波对应的方程为

$\vec{\nabla}_T^2 \psi + k_c^2 \psi = 0 \\ \begin{cases} \frac{d^2 U(z)}{dz^2} - \gamma^2 U(z) = 0 \\ \frac{d^2 I(z)}{dz^2} - \gamma^2 I(z) = 0 \end{cases}$