0. 重要推导

• 点积、叉积
• 四元数
• Rodrigues公式
• ModeView矩阵，先R先T
• forward、up、left
• Projection矩阵
• Bling-Phong公式
• BRDF公式
• radiance & irradiance

1. 计算机图形学概述

1. 光栅化渲染管线 & 光线追踪渲染管线

2. 向量和线性代数

1. 向量点积，乘积是数量
   几何意义：判断向量的接近程度；求夹角（判断同向反向）；分解向量；投影相关；

   
   

2. 向量叉积，乘积是向量，右手规则
   几何意义：求垂直；判断向量or点在平面的哪一侧；

   
   

3. 正交矩阵的逆和转置相同，旋转矩阵是正交矩阵

4. 点积和叉积的矩阵表示

   
   

3. 变换（二维与三维）

1. 齐次坐标：为了将平移引入变换矩阵，增加一个维度，(x, y, 1)表示点，(x, y, 0)表示向量

2. 变换顺序影响结果，先旋转or先平移

3. 绕固定点旋转：先平移到该点，旋转，再平移回来

4. 变换（模型、视图、投影）

1. 旋转表示：旋转矩阵、欧拉角、轴角（Rodrigues公式推导）、四元数
   

2. View矩阵的三行分别代表三个轴的向量，可用于获取forward、up、left

   
   

3. 投影矩阵，正交&透视

5. 光栅化（三角形的离散化）

1. fov/aspect和near/far/left/right/top/bottom转换

2. 四边形or三角形网格？：渲染几乎都用三角形，四边形多用于某些算法处理

6. 光栅化（深度测试与抗锯齿）

1. 采样的Artifacts：空间采样、下采样、时间采样

2. 反走样技术：或先blur再采样、采样时卷积、选择靠近的，等等乱七八糟的方式

3. 提高采样率：超采样技术，先超采样，再下采样

4. 原理：高通滤波（增强边缘）、低通滤波（模糊边缘）

7. 着色（光照与基本着色模型）

1. 画家算法：以物体为单位做预先排序（常在CPU上），存在排序冲突问题，比如threejs会对非透明物体和透明物体分别排序

2. zbuffer：硬件实现，根据管线中存的深度值

3. 先画透明物体（由近到远画），再画不透明物体（由远到近画），画不透明物体时关闭深度写入（防止遮挡不透明物体）、保留深度测试（适当舍弃）

8. 着色（着色频率、图形管线、纹理映射）

1. Phong模型：diffuse漫反射、specular镜面反射、ambient环境光

2. 着色单位：三角形、顶点、片段

3. （经典）渲染管线：

   
   

9. 着色（插值、高级纹理映射）

1. 重心坐标，用于插值（坐标、颜色、法向等）

2. 双线性插值（二维纹理）、三线性插值（三维纹理，或不同mipmap的二维纹理以增强连续性）

   
   

3. Mipmap，根据大小远近，使用不同尺寸的纹理

4. 纹理的各项异性（Anisotropic）：沿着纹理坐标轴采样，而非上下左右均匀

   
   

10. 几何（基本表示方法）

1. 纹理的应用：环境光、全景图、球面光、存储法向和高度等非几何信息、噪声、烘焙、体数据等

2. 几何的隐式表示：几何曲面函数、水平集函数、距离函数

3. 几何的显示表示：多边形、三角形、点云、分形

11. 几何（曲线与曲面）

1. 贝塞尔曲线：一阶、二阶、三阶，若干个等比例控制点的集合组成的曲线

   
   

2. 贝塞尔曲面：由贝塞尔曲线移动得到

12. 几何（网格处理）、阴影图

1. 几何处理：简化、细分、正规化

2. 细分算法：Catmull-Clark Vertex Update Rules

   
   

3. 简化算法：顶点合并，使新顶点和原有顶点的二次误差最小

4. 阴影映射，用于生成硬阴影：1. 从光源画一次，得到深度图；2. 从相机画一次，得到rgb+深度；3. 反投影可见点和光源深度图比较，匹配则保留，不匹配则删除

13. 光线追踪（基本原理）

1. Ray Casting：一次光线，不反射

   
   

2. Ray Tracing：递归的多次反射

   
   

3. 射线和球面求交，球面方程可被拓展到任意曲面

   
   

4. 射线和三角型求交：先和面求交，再和判断交点是否在面内

   
   

14. 光线追踪（加速结构）

1. 均匀的空间剖分：划分AABB包围盒网格，快速筛选空的区域，适合均匀分布的场景

2. 不均匀的空间剖分：适合不均匀分布的场景
   八叉树：在三个维度严格进行二分，一个物体可以被分在多个叶子节点
   KD树：根据物体本身分布进行划分，一个物体只能存在于一个叶子节点中
   BSP树：非AABB的KD树

   
   

3. 包围盒层级（Bounding Volume Hierarchy (BVH)）

   
   

4. 空间剖分和物体剖分

   
   

15. 光线追踪（辐射度量学、渲染方程与全局光照）

1. 相关变量

   
   

2. 辐射强度（Radiant Intensity）：单位立体角（三维radian 4π）发出的能量，用来衡量点光源

3. 辐照度（Irradiance）：单位面积射到表面点上的能量，用来衡量表面，和曲面与光线的夹角成比例
   点光源从内向外球面的辐照度会衰减

4. 辐射（Radiance）：单位光线的功率，用于衡量一条光线（发射、接受等各阶段通用）

5. 辐照度无关方向，辐射仅考虑一个ray

6. 一个点的反射情况：从一个光线方向ωi发出的辐射，即相当于单位面积接收到的能量，这个能量也就是反射到其它任意方向的辐射

   
   

7. （？？？）BRDF（双向反射分布函数），用来描述给定入射方向反射到给定出射方向的能量

   
   

8. （？？？）反射方程，求给定入射方向和出射方向的能量

   
   

9. （？？？）渲染方程，由反射方程加一项自身发射的光得到

   
   
   
   

10. 渲染方程进行多次迭代（多次递归求解反射），得到更接近真实的渲染结果

16. 光线追踪（蒙特卡洛积分与路径追踪）

1. 蒙特卡洛积分

2. 理想的全局光照流程

   
   

3. 路径追踪（仅考虑1条光线的全局光照），对一个像素点进行多次随机的路径追踪取平均以避免噪声，加入随机概率俄罗斯轮盘作为终止条件

   
   

4. 最终版：区分直接来自光线的部分（无需递归），和来自反射的部分（需要递归），对来自光线的部分进行蒙特卡洛积分

   
   

17. 材质和外观

1. 折射定律，n表示介质的折射率

   
   

2. 微表面模型：考虑法向分布和光滑程度

3. 测量BRDF参数：大致方向是基于尽可能多的光线方向进行拍摄采样，反向推测

18. 高级光线传播与复杂外观建模

1. 有偏（biased）和无偏（unbiased）：数学期望是否与真实一致；一致与非一致：是否随着样本增多而收敛

2. BDPT：适合光源侧反射情况复杂的场景，缺点是实现复杂，有性能问题，无偏

   
   

3. MLT (Metropolis Light Transport)：在采样点之间使用概率密度函数做跳跃，无偏但不一致，通常用于复杂光效和动画之类的效果

   
   

4. Photon Mapping (光子映射)：适合SDS光路或散焦，有偏差但一致

   
   

5. VCM (Vertex Connection and Merging)：BDPT和Photon Mapping的结合，不舍弃被遮挡的光路，对被遮挡的点进行合并

   
   

6. Instant Radiosity (IR, 有时又叫many-light approaches): 将反光表面作为光源，发射子光路到表面即可，较快，不适合光滑表面，易出现局部峰值

7. 非表面模型 - 参与介质：云雾等，用辐射传输方程来描述（可理解为一种特殊的体绘制方法）

   
   

8. 头发渲染：可基于面片或引导线建模，有一些常用的渲染模型（Kajiya-Kay Model，Marschner Model，Scheuermann Model等）

9. 颗粒材质：避免对所有颗粒本身建模，通过对整体到局部不同层级进行建模来处理

10. 次表面模型：在表面内部进行折射反射的效果（光学属性）不一致，光线的出射位置和入射位置不一样，引入BSSRDF进行快速近似计算，将入射点和出射点用距离函数模拟，近似BRDF

11. 布料：普通表面模型、次表面模型、显式的没一根纤维等多种方式渲染

12. 细节模型：微表面BRDF，增加真实的法向分布函数

    
    

13. 程序化外观：在运行时通过定义的（噪声）函数生成纹理

19. 相机与透镜

1. 针孔模型和透镜：针孔直径只允许一个光线通过最清晰，针孔直径无限大最模糊，为了使同一个物体（距离）显示的最清楚，引入透镜

2. fov和焦距：相同传感器尺寸，焦距越大，fov越小，画面中的物体相对越大

   
   

3. 曝光三要素：快门、光圈、ISO

   
   

4. 透镜：平行光相交于一点（焦点）；过焦点的光都平行；焦距可变；

5. 高斯透镜等式：透镜基本属性+相似原理

   
   
   
   

6. 弥散圆（Circle of Confusion）：相似原理计算，与光圈大小相关

   
   

7. 透镜的渲染实现：对每个像素点，随机采样透镜上的点，对光线进行追踪或走管线

   
   

8. 景深：能清晰成像的距离范围，大光圈小景深，小光圈大景深

   
   
   
   

   距离合焦平面越近的平面，产生的弥散圆越大，反之越小，合焦平面上的点恰好为一个点

   
   
   
   弥散圆小于传感器精度的前后脚平面距离，就是景深，可根据相似原理计算：
   
   
   

20. 光场、颜色与感知

1. 全光函数（Plenoptic Function）： 用极坐标、波长、时间、空间坐标7个参数表示一个场景的函数

   
   

2. 光场（Light Field / Lumigraph）：任何位置向任何方向产生的光的信息，是全光函数的子集，位置和方向可以用三维表示，也可以用二维表示（贴图映射）

3. 光场的参数化：1. 用包围盒上的点来取代物体真实几何表面的点；2. 用一个平面加方向来参数化；3. 用两个平面来参数化（uv/st坐标，类似两点定义直线的思路）

   
   

4. 光场相机：每个“像素”记录通过透镜的全部光线值，即一个光场，可以恢复不同视角，不同焦平面的二维图像

   
   

5. 光谱图：横轴为波长的分布图（连续的直方图）

6. 颜色空间：RGB / sRGB

7. 色域：在二维空间可视化颜色，两个轴是两个通道的值，显示为颜色结果，靠边界是纯色，内部为混合颜色；不同颜色空间在色域图中的区域不一样

   
   

21. 动画与模拟（基本概念、质点弹簧系统、运动学）

1. 关键帧动画：确定关键帧的参数，插值中间参数

2. 质点弹簧系统：胡可定律向量版

   
   
   
   

   质点弹簧系统内部阻力（摩擦力）

   
   

3. 质点弹簧系统模拟布料（简化例子）

   
   

4. 运动学：用参数随时间变化来表示任意点的运动，易于实现，难于建模

   
   
   
   

   逆运动学：用点的位置求解系统的参数，易于建模，难于实现，有多解或无解，通常依赖优化方法求解

5. Rigging、Blend Shape、Motion Capture（动捕）：骨骼驱动、关键点驱动顶点、现实关键点捕捉和驱动

22. 动画与模拟（求解常微分方程，刚体与流体）

1. 求解常微分方程，以速度场中的粒子运动为例：欧拉法、中点欧拉法、自适应步长、隐式法、基于点的方法，可直接用于刚体模拟

   
   

2. 流体模拟：质点法（拉格朗日法）、网格法（欧拉法）