姓名：冯浩轩 学号：21021210683 学院：电子工程学院
本文旨在通过一维热传导方程以及牛顿冷却定律对焊接部分进行机理建模，并采用智能算法对炉温曲线进行优化。
针对问题一，为对焊接区域的温度变化规律建立数学模型，首先利用一维热传导方程求解出在题目所给小温区数据下的空气中温度分布的分段表达式，并建立焊接区域内部温度分布的偏微分方程。其次利用牛顿冷却定律列写关于空气和焊接区域边缘的常微分方程，再将上述微分方程联立并结合第三类边界条件，建立带未知参数的焊接区域中心温度分布的物理模型。最后利用C-N隐格式求解传热方程的数值解，并利用附件数据进行整体及分段两次拟合，利用粒子群算法求解得到分段最优参数，建立焊接区域中心温度分布的数学模型。将问题一所给数值代入上述模型得到焊接区域中心温度变化的具体情况。其中小温区3，6，7中点以及小温区8结束处的温度分别为129.7557℃、167.9916℃、189.6012℃，223.8698℃。
针对问题二，研究中发现传送带过炉速度与制程界限的各个指标都满足单调递增或单调递减的关系。为降低程序运行的时间复杂度，首先通过作各指标与传送带速度的曲线图，从而缩小最大过炉速度所处范围，再进一步通过二分法求解的方式将满足最大斜率绝对值≤3作为判断标准，对传送带过炉速度均匀递减，直到找到满足所有条件的最大传送带过炉速度。本文求得的最大过炉速度为78.83cm/min。
针对问题三，将炉温曲线升温部分的217℃到峰值所覆盖的面积最小作为优化目标，将各个小温区温度以及传送带过炉速度作为决策变量，利用智能算法先进行全局搜索，再精确查找的方法，找到最佳的决策变量值，同时达到了避免陷入局部最优的目的。通过此方法，我们得到的各温区的设定温度以及传送带过炉速度分别为177.5℃，197.0℃，230.6℃，264.9℃，91.889cm/min,对应面积的最小值为447.983℃
针对问题四，为使超过217℃的覆盖面积尽可能关于峰值对称，我们找到了两个目标函数。一是左半部分面积减去右半部分面积的绝对值尽可能小，二是从217℃升温到峰值所用时长减去从峰值降温到217℃所用时长的绝对值最小。为简化模型，我们将面积差的平方与时长差的平方相加最小作为优化目标，从而将多目标多变量的优化问题转化为单目标多变量的优化问题。并将机理模型与智能算法相结合求得最佳决策变量的值。通过此方法，我们得到的各温区的设定温度以及传送带过炉速度分别为173.6℃，190.5℃，228.8℃，264.9℃，88.78cm/min。
关键词：一维热传导方程 牛顿冷却定律 C-N隐格式 粒子群算法
一、问题重述
回焊炉作为焊接电子元器件的工具，其从功能上分有预热区，恒温区，回流区，冷却区四大温区，细分有11个小温区以及炉前区域和炉后区域。本题中各小温区长度30.5cm,间隙5cm,炉前炉后区域各25cm，生产车间温度25℃。在各温区设定的温度分别为175ºC（小温区1~5）、195ºC（小温区6）、235ºC（小温区7）、255ºC（小温区8~9）及25ºC（小温区10~11）；传送带的过炉速度70 cm/min；焊接区域的厚度为0.15 mm的情况下，用温度传感器测得各时间焊接区域中心的温度数据已在附件中呈现。
各小温区设定温度可以进行[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]ºC范围内的调整，小温区10~11中的温度保持25ºC。传送带的过炉速度调节范围为65~100 cm/min。现在满足制程界限的条件下，建立合适的模型，回答下述四个问题：
表1：制程界限表
界限名称最低值最高值单位
将传带速度改为78cm/min，各温区温度的设定值分别为173ºC（小温区1~5）、198ºC（小温区6）、230ºC（小温区7）和257ºC（小温区8~9），求出焊接区域中心温度在各时间段的值，并求出小温区3、6、7中点及小温区8结束处焊接区域中心的温度,作出炉温曲线图并得到每隔0.5 s焊接区域中心的温度。
[if !supportLists]2. [endif]将各温区温度的设定值分别改为182ºC（小温区1~5）、203ºC（小温区6）、237ºC（小温区7）、254ºC（小温区8~9），利用问题一建立的物理模型，求出在满足表1各约束条件下的传送带的传送速度最大值。
[if !supportLists]3. [endif]求出在超过217ºC到峰值温度所覆盖的面积最小情况下的满足制成界限约束条件的各个决策变量的值，包括小温区的温度设定以及传送带的过炉速度。并给出最小面积以及最优炉温曲线。
[if !supportLists]4. [endif]求满足制程界限约束下的以峰值两侧超过217℃面积尽量对称为优化目标的各个决策变量的值，包括小温区的温度设定以及传送带的过炉速度。并给出最优炉温曲线。
二、问题分析
2.1 问题一的分析
问题一要求对焊接区域中心的温度分布建立数学模型，并针对问题一设定的小温区温度以及传送带过炉速度，求解焊接区域中心的温度变化情况。
首先，我们利用一维热传导方程建立稳态下的回焊炉内部温度的空间分布与焊接区域内部的温度随时间空间的分布情况，再利用牛顿冷却定律建立空气温度与焊接区域边缘温度相联系的微分方程，同时考虑外界环境温度为25℃以及焊接区域内部温度关于中心对称等条件，将以上方程联立，利用C-N隐格式差分求出焊接区域中心的数值解。由于其内部含有两未知参数，因此通过将该数值解与附件数据作拟合求出拟合程度最好时的参数值。最后将该参数值代入上述模型中，将问题一所给数据代入已知参数的微分方程中，求出焊接区域中心的温度变化情况，并给出小温区3，6，7中点以及小温区8结束处焊接区域中心的温度。将每隔0.5s的焊接区域中心温度存放在result.csv中。
2.2 问题二的分析
问题二要求在修改各小温区温度后求得满足制程界限的最大传送带过炉速度。
首先将问题二所给数据代入问题一建立的数学模型中，仅有传送带过炉速度这一未知量，每一个传送带过炉速度都对应每一条炉温曲线。我们通过分析发现，传送带过炉速度与制程界限中各个指标的关系都是单调对应的。又由于曲线所有的斜率绝对值在[0,3]这个范围内要求较高，为减少时间成本，先分别作出温度上升过程中150℃-190℃及大于217℃两个温度范围内时间与过炉速度的曲线图，以及峰值对应温度关于过炉速度的曲线，而后通过观察将最大传送速度缩小在一定范围内，最后通过二分法得到同时满足曲线斜率绝对值在3以内的最大传送带过炉速度。
2.3 问题三的分析
问题三要求在满足制程界限条件下求从217℃上升到峰值炉温曲线覆盖面积的最小值以及对应的小温区和过炉速度的取值。
此问题为单目标多决策变量的优化问题，通过智能算法结合焊接区域中心温度的数学模型即可求出满足制程界限约束条件的最小面积。
2.4 问题四的分析
问题四要求在满足制程界限条件下求从217℃上升到峰值炉温曲线覆盖的面积和从峰值下降到217℃炉温曲线覆盖的面积尽可能对称的各决策变量的取值。
首先，我们考虑到面积对称有两方面，一是左右面积的对称，即面积差的绝对值尽可能的小，二是左右跨度的对称，即两个过程用时之差的绝对值尽可能小。因此，其为一个多目标多变量的优化问题。再将多目标通过加权转换为单目标多变量的优化问题，即面积差的平方与长度差的平方相加作为目标函数，当其越接近0，表明左右覆盖面积越对称。最后，同样通过智能算法与焊接区域中心温度的数学模型相结合求出目标函数的最小值以及决策变量对应的取值。
三、模型假设
假设一：每个小温区内温度均匀分布，空气中温度沿x轴分布与小温区温度分布近似相等。
假设二：空气中同一x值，同一z值下温度沿y轴方向不发生变化，均匀分布。因此将三维空间简化为二维平面分析。
假设三：传送带在传送过程中，焊接区域边缘与空气实际温度差不大，满足牛顿冷却定律应用条件。
假设四：在电路板送进回焊炉前，回焊炉内部温度已达到动态平衡，即不随时间变化。
四、符号说明
五、模型的建立与求解
5.1问题一 焊接区域中心温度的时间分布
问题一要求建立焊接区域中心温度分布模型并求解炉温曲线。针对问题一，首先利用一维热传导方程计算回焊炉内部温度分布的分段函数，再结合牛顿冷却定律列写关于焊接区域中心温度的微分方程建立数学模型，并利用C-N隐式差分计算焊接区域中心温度的数值解，将其与附件数据拟合以误差平方和最小作为优化目标，求解最优参数。最后将问题一所给数据代入模型求得各温度结果。
5.1.0 模型的准备
5.1.0.1 一维热传导方程的建立
通过查阅文献[1]得知温度的分布只与时间和位置x有关。而针对一根细长圆柱形杆，设其比热容为c，密度为ρ，则其在体积元内的热量可以表示为：
考虑从a到b的一小段区域V,其横截面积设为S，位移元为简化图如下：
则区域V内从a到b的热量通过积分求得
与此同时，设导热系数为C,t时刻体积元V内热量同样可以表示为：
化简得：
而当系统处于热稳态平衡时，温度不随时间的变化而变化，因此
因此温度分布的表达式即为简单的一次函数：u=ax+b。其中a与b的值随边界条件的变化而变化。
5.1.0.2 牛顿冷却定律的描述
在热学系统处于自然冷却状态下，若系统的温度为T,外界环境的温度为u,且在实验系统与外界的温差较小的条件下，系统由于表面热辐射而散失的热量与两者温度差的关系为：
5.1.1 回焊炉温度的空间分布
回焊炉内部在达到热平衡状态后，温度只与位置有关。在各小温区温度已知的情况下，假设每个小温区内温度处处相等，则不同边界的环境温度下，间隙内温度呈线性分布。令回焊炉最左端为原点，水平向右为x轴，小温区[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]温度记为t1,小温区6温度记为t2,小温区7温度记为t3,小温区温度记为t4。得到整个回焊炉温度的分段函数表达式如下：
将题目所给各小温区数据代入，得到此情况下的回焊炉温度分布如下：
用matlab作出回焊炉温度分布折线图如下，
5.1.2 焊接区域温度分布模型
通过建立焊接区域中心温度分布的微分方程，利用隐式差分求解其数值解。分别利用最小二乘法整体拟合和粒子群算法分段拟合求解得到最优参数，从而构建焊接区域中心温度分布模型。
5.1.2.1 微分方程的建立
利用一维热传导方程得到u(x)的回焊炉温度的空间分布，在误差允许的范围内将其近似的等效为空气中的温度分布。利用牛顿冷却定律将焊接区域类比为实验系统，将空气温度类比为外界环境温度，并把焊接区域温度设为T，得到T与u满足的关系式为：
其中K为负值，与u的取值有关。又传送带的过炉速度为70cm/min，附件所给t的单位为秒，所以将70cm/min换算为7/6cm/s,将x用7t/6代替得:
而针对焊接区域内部，示意图如下
l为焊接区域的厚度0.15mm，即0.015cm。由于上下表面与空气接触，空气中温度均匀分布，因此焊接区域内部温度关于x轴对称。其满足所有条件为：
5.1.2.2 C-N隐式差分
隐式差分是解决热传导问题的常用差分格式，可以解决偏微分方程的数值解问题。其优点在于隐式差分的稳定性要求对步长的限制大为放宽，C-N隐式差分格式的具体解法如下：
针对本问题，将焊接区域分为m等分，在j+1时间层由第三类边界条件求端点温度得:
其中h1为热交换系数与热传导率的比值，a2为热传导率与热容密度乘积的比值。同时由第一层时间递推得到第j层的节点值：
设(m+1)×（m+1)矩阵A为
(m+1)×（m+1)矩阵B为
其中u为本题中的T(z,t),f为本题中的u(t)。
5.1.2.3 粒子群算法求解参数
由上述线性表达式得到焊接区域中心温度的分布，用[if !vml]
[endif]实现，代码见附录2。在上述模型中有两个待求参数K,K’，为得到最优参数估计值，我们将该模型得到的焊接区域中心的数值解与附件数值拟合，求残差平方和的最小值。设附件温度为T’,因此：目标函数：Y（K,K’)=[T(0,t)-T’(t)]2min
求解最优参数流程图如下：
我们先假设K与K’在整个解空间为常数，结果如下：
由上图得知，如果将参数整体拟合，得到的前半段拟合效果较好，但是后半段拟合效果很差。事实上由于此参数受多重因素的影响，因此为了优化模型，我们采用粒子群算法，并进一步进行分段拟合，由于小温区有5个不同温度，因此我们分五段进行拟合,分别为[0,197.5],[197.5,233],[233,268.5],[268.5,339.5],[339.5,450]。
