第5章一元线性回归：假设检验和置信区间

一、关于某个回归系数的假设检验

t检验：双边假设和单边假设

二、回归系数的置信区间

指示变量（indicator variable）&虚拟变量（dummy variable）

$D_i\in\{0,1\}$ ，其系数 $\beta_i$ 不是指斜率，而是看作 $D_i$ 的系数

同方差（homoskedastic），异方差（heteroskedastic）

如果对任意 $i=1,2,...,n$ ，给定 $X_i$ 时 $u_i$ 条件分布的方差 $var(u_i|X_i=x)$ 是常熟且不依赖于 $x$ 时，误差项 $u_i$ 是同方差的；否则，是异方差的。

同方差的数学含义：

1.OLS估计量仍然是无偏和近似正态的

2.误差同方差时OLS估计量的效率

3.同方差使用方差公式

若三个最小二乘假设成立且误差同方差，则在 $X_1,X_2,...,X_n$ 条件下，OLS估计量是所有线性条件无偏类估计量中方差最小的。换言之，OLS估计量是最佳线性条件无偏估计量（Best Linear Conditional Unbiased Estimator，BLUE）

Guass-Markov定理的局限性：

第一，其条件在实际应用中可能不成立，尤其是当误差异方差时，经济应用中常常是异方差的，此时OLS估计量不再是BLUE。

第二，既是定理条件成立，但也存在着其他非线性的条件无偏估计量，并且在某些条件下，这些估计量更有效。

不同于OLS的回归估计量：

1.加权最小二乘法（weighted least squares，WLS）

其中第 $i$ 个观测的权重为给定 $X_i$ 时 $u_i$ 的条件方差平方根的倒数

2.最小绝对变差估计量

将“误差”平方改为了“误差”绝对值 $\sum_{i=1}^n|Y_i-b_0-b_1X_i|$

当样本容量较小时，t统计量的精确分布的非常复杂的并且依赖于数据的未知总体分布。但如果三个最小二乘假设成立，无差同方差且回归误差服从正态分布，则OLS估计量服从正态分布且同方差适用的t统计量服从学生t分布。

即同方差正态回归假设（homoskedastic normal regression assumption）

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