姓名：赵健宇            学号：21021210853        学院：电子工程学院

原文转自：https://blog.csdn.net/weixin_41793877/article/details/108847023

【嵌牛导读】流形是微分几何中的重要概念和分析基础。

【嵌牛鼻子】微分流形

【嵌牛提问】曲面如何描述为流形形式？

【嵌牛正文】

微分流形

拓扑流形：　设 M M M是一个Hausdorff拓扑空间，若对每一点 p ∈ M p\in M p∈M，都有 p p p的一个邻域 U U U与 R m \mathrm{R}^m Rm的一个开集同胚，则 M M M是一个 m m m维拓扑流形。

微分流形：　设 M M M是一个Hausdorff拓扑空间，若存在 M M M的一个开集族

Σ = { ( U α , φ α ) ∣ α ∈ Λ , ∪ α ∈ Λ U α = M , φ α 是 U α 到 R m 的 映 射 } \Sigma=\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)|\alpha\in \Lambda,\mathop\cup\limits_{\alpha\in \Lambda}U_\alpha=M,\varphi_\alpha是U_\alpha到\mathrm{R}^m的映射\} Σ={(Uα,φα)∣α∈Λ,α∈Λ∪Uα=M,φα是Uα到Rm的映射}

满足：

(1) ∀ α ∈ Λ \forall \alpha\in\Lambda ∀α∈Λ， φ α : U α → φ α ( U α ) \varphi_\alpha:U_\alpha\rightarrow\varphi_\alpha(U_\alpha) φα:Uα→φα(Uα)是同胚映射；

(2) ∀ α , β ∈ Λ \forall \alpha,\beta\in\Lambda ∀α,β∈Λ，当 U α ∩ U β ≠ ∅ U_\alpha\cap U_\beta\ne \empty Uα∩Uβ=∅时， φ β ∘ φ α − 1 : φ α ( U α ∩ U β ) → φ β ( U α ∩ U β ) \varphi_\beta\circ \varphi^{-1}_\alpha:\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\rightarrow \varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta) φβ∘φα−1:φα(Uα∩Uβ)→φβ(Uα∩Uβ)，是 C k C^k Ck映射；

(3) Σ \Sigma Σ关于条件(1)和(2)是极大的，

则称 M M M是一个 m m m维 C k C^k Ck微分流形。

流形上的映射：　设 M M M和 N N N分别是 m m m维和 n n n维 C k C^k Ck微分流形，如果映射 f : M → N f:M\rightarrow N f:M→N对每一点 p ∈ M p\in M p∈M，存在 M M M上包含 p p p的坐标图 ( U , φ ) (U,\varphi) (U,φ)和 N N N上包含 q = f ( p ) q=f(p) q=f(p)的坐标图 ( V , ψ ) (V,\psi) (V,ψ)，使得

ψ ∘ f ∘ φ − 1 : φ ( U ) → ψ ( V ) \psi\circ f\circ\varphi^{-1}:\varphi(U)\rightarrow \psi(V) ψ∘f∘φ−1:φ(U)→ψ(V)

在 φ ( p ) \varphi(p) φ(p)点是 C k C^k Ck的，则映射 f f f是 C k C^k Ck映射。映射 f f f在 p p p点的秩，即映射 ψ ∘ f ∘ φ − 1 \psi\circ f\circ\varphi^{-1} ψ∘f∘φ−1在 φ ( p ) \varphi(p) φ(p)点的秩。

流形的同胚：　设 M M M和 N N N分别是 C k C^k Ck微分流形，若映射 f : M → N f:M\rightarrow N f:M→N是双射，且 f f f和 f − 1 f^{-1} f−1都是连续的，则 f f f为同胚映射。

流形的微分同胚：　设 M M M和 N N N分别是 C k C^k Ck微分流形，若映射 f : M → N f:M\rightarrow N f:M→N是双射，且 f f f和 f − 1 f^{-1} f−1都是 C k C^k Ck的，则 f f f为 C k C^k Ck微分同胚映射，称 M 与 M与 M与与 N N N是 C k C^k Ck微分同胚的。

浸入映射： 设 M M M和 N N N分别是 m m m维和 n n n维 C k C^k Ck微分流形， f : M → N f:M\rightarrow N f:M→N为 C s ( 1 ≤ s ≤ k ) C^s(1\le s\le k) Cs(1≤s≤k)映射，如果 f f f在 p ∈ M p\in M p∈M的秩为 m m m，则 f f f在 p p p点为浸入，如果 f f f在 M M M上每一点都为浸入，则 f f f为浸入。

淹没映射： 设 M M M和 N N N分别是 m m m维和 n n n维 C k C^k Ck微分流形， f : M → N f:M\rightarrow N f:M→N为 C s ( 1 ≤ s ≤ k ) C^s(1\le s\le k) Cs(1≤s≤k)映射，如果 f f f在 p ∈ M p\in M p∈M的秩为 n n n，则 f f f在 p p p点为淹没，如果 f f f在 M M M上每一点都为淹没，则 f f f为淹没。

浸入子流形： 设 M M M和 N N N分别是 m m m维和 n n n维 C k C^k Ck微分流形， f : M → N f:M\rightarrow N f:M→N为单浸入映射，对于由 f f f诱导的拓扑和微分结构而言， f ( M ) f(M) f(M)或 M M M为 N N N的浸入子流形。

（注：由 f f f诱导的拓扑指， Q Q Q是 f ( M ) f(M) f(M)的开子集当且仅当 f − 1 ( Q ) f^{-1}(Q) f−1(Q)是 M M M的开子集。根据诱导的拓扑，M的坐标图册 { ( U α , φ α ) ∣ α ∈ Λ } \{(U_\alpha,\varphi_\alpha)|\alpha\in\Lambda\} {(Uα,φα)∣α∈Λ}诱导出 f ( M ) f(M) f(M)的坐标图册 { ( f ( U α ) , φ α ∘ f − 1 ) ∣ α ∈ Λ } \{(f(U_\alpha),\varphi_\alpha\circ f^{-1})|\alpha\in\Lambda\} {(f(Uα),φα∘f−1)∣α∈Λ}，从而确定 f ( M ) f(M) f(M)的微分结构）

嵌入子流形： 设 M M M和 N N N分别是 m m m维和 n n n维 C k C^k Ck微分流形， f : M → N f:M\rightarrow N f:M→N为单浸入映射，若 f ( M ) f(M) f(M)上由 f f f诱导的拓扑与 f ( M ) f(M) f(M)作为 N N N的子空间的拓扑相同，（ f ( M ) f(M) f(M)作为 N N N的子空间拓扑，使得 f : M → f ( M ) f:M\rightarrow f(M) f:M→f(M)是 C s C^s Cs微分同胚）则 f ( M ) f(M) f(M)或 M M M为 N N N的嵌入子流形。

正则子流形： 设 N N N是 n n n维 C K C^K CK微分流形， N ′ ⊂ N N'\subset N N′⊂N是 N N N的子集，具有子空间拓扑，对于某个正整数 m ( ≤ n ) m(\le n) m(≤n)，若每一点 q ∈ N ′ q\in N' q∈N′都存在 N N N包含 q q q的坐标图 ( U , φ , y α ) (U,\varphi,y^\alpha) (U,φ,yα)，使得

(1) φ ( q ) \varphi(q) φ(q)是 R n \mathrm{R}^n Rn的原点；

(2) φ ( U ∩ N ′ ) = { ( y 1 , … , y n ) ∈ φ ( U ) ∣ y m + 1 = ⋯ = y n = 0 } \varphi(U\cap N')=\{(y^1,\dots,y^n)\in \varphi(U)|y^{m+1}=\dots=y^n=0\} φ(U∩N′)={(y1,…,yn)∈φ(U)∣ym+1=⋯=yn=0}，

则称 N ′ N' N′为 N N N的正则子流形。具有性质(1)和(2)的坐标图 ( U , φ ) (U,\varphi) (U,φ)称为子流形图， n − m n-m n−m称为 N ′ N' N′的余维数。

流形的定向： 设 M M M是 m m m维 C k C^k Ck微分流形，如果存在 M M M的坐标图册 { ( U α , φ α ) ∣ α ∈ Σ } \{(U_\alpha,\varphi_\alpha)|\alpha\in\Sigma\} {(Uα,φα)∣α∈Σ}，使得 ∀ α , β ∈ Σ \forall \alpha,\beta\in\Sigma ∀α,β∈Σ和每一点 p ∈ U α ∩ U β p\in U_\alpha\cap U_\beta p∈Uα∩Uβ， φ β ∘ φ α − 1 \varphi_\beta\circ\varphi^{-1}_\alpha φβ∘φα−1在 φ α ( p ) \varphi_\alpha(p) φα(p)点的Jacobi矩阵的行列式 > 0 >0 >0，则称 M M M是可定向的。

（注：满足上述条件的坐标图册称为定向相融的坐标图册，即其中任意两个坐标图不仅相容，且具有相同的定向。存在极大的定向相融坐标图册，其构成微分流形的微分结构，称为流形的一个定向）

张量场与微分形式

切向量与切空间： 设 M M M是 m m m维 C k C^k Ck微分流形， α : ( − ε , ε ) → M \alpha: (-\varepsilon,\varepsilon)\to M α:(−ε,ε)→M是 M M M上一条过点 p ∈ M p\in M p∈M的 C s C^s Cs曲线。设 α ( 0 ) = p \alpha(0)=p α(0)=p， D ( p ) \mathcal{D}(p) D(p)是 M M M上在 p p p点某个邻域内有定义且在 p p p点是 C s C^s Cs的函数集合， M M M在 p p p处的切向量 X p X_p Xp定义为，曲线 α \alpha α在 t = 0 t=0 t=0是的切向量，即 X p X_p Xp是一个算子 X p : D ( p ) → R X_p:\mathcal{D}(p)\to \mathrm{R} Xp:D(p)→R，满足

α ′ ( 0 ) ( f ) = d f ∘ α d t ∣ t = 0 , ∀ f ∈ D p . \alpha'(0)(f)=\frac{\mathrm{d}f\circ\alpha}{\mathrm{d}t}\bigg|_{t=0},\forall f\in \mathcal{D}{p}. α′(0)(f)=dtdf∘α∣∣∣∣t=0,∀f∈Dp.

M M M在 p p p点的切向量全体构成一个 m m m维向量空间，称为 M M M在 p p p点的切空间，记为 T p ( M ) T_p(M) Tp(M)。

余切向量与余切空间： 微分流形 M M M在 p p p点的切空间 T p ( M ) T_p(M) Tp(M)的对偶空间称为 M M M在 p p p点的余切空间，记为 T p ∗ ( M ) T^*_p(M) Tp∗(M)，其元素为 M M M在 p p p点的余切向量。

切丛： 设 M M M是 m m m维 C k C^k Ck微分流形， T p ( M ) T_p(M) Tp(M)是 M M M在 p p p点的切空间。令 T ( M ) ＝ ∪ p ∈ M T p ( M ) T(M)＝\mathop\cup\limits_{p\in M}T_p(M) T(M)＝p∈M∪Tp(M)，通过映射

π : T ( M ) → M , X p ↦ p , ∀ X p ∈ T p ( M ) \pi:T(M)\to M, X_p\mapsto p, \forall X_p\in T_p(M) π:T(M)→M,Xp↦p,∀Xp∈Tp(M)

可在 T ( M ) T(M) T(M)上可引入拓扑和 C k − 1 C^{k-1} Ck−1微分结构，使其成为 2 m 2m 2m维 C k − 1 C^{k-1} Ck−1微分流形。 ( T ( M ) , π , M ) (T(M),\pi,M) (T(M),π,M)或简记为 T ( M ) T(M) T(M)，称为 M M M上的切丛，映射 π \pi π称为自然射影， T p ( M ) T_p(M) Tp(M)称为 T ( M ) T(M) T(M)在 p p p点的纤维。

余切丛： 设 M M M是 m m m维 C k C^k Ck微分流形， T p ∗ ( M ) T^*_p(M) Tp∗(M)是 M M M在 p p p点的余切空间。令 T ∗ ( M ) ＝ ∪ p ∈ M T p ∗ ( M ) T^*(M)＝\mathop\cup\limits_{p\in M}T^*_p(M) T∗(M)＝p∈M∪Tp∗(M)，通过映射

π : T ∗ ( M ) → M , θ p ↦ p , ∀ θ p ∈ T p ∗ ( M ) \pi:T^*(M)\to M, \theta_p\mapsto p, \forall \theta_p\in T^*_p(M) π:T∗(M)→M,θp↦p,∀θp∈Tp∗(M)

可在 T ∗ ( M ) T^*(M) T∗(M)上可引入拓扑和 C k − 1 C^{k-1} Ck−1微分结构，使其成为 2 m 2m 2m维 C k − 1 C^{k-1} Ck−1微分流形。 ( T ∗ ( M ) , π , M ) (T^*(M),\pi,M) (T∗(M),π,M)或简记为 T ∗ ( M ) T^*(M) T∗(M)，称为 M M M上的余切丛，映射 π \pi π称为自然射影， T p ∗ ( M ) T^*_p(M) Tp∗(M)称为 T ∗ ( M ) T^*(M) T∗(M)在 p p p点的纤维。

向量场： 设 M M M是 m m m维 C k C^k Ck微分流形， ( T ( M ) , π , M ) (T(M),\pi,M) (T(M),π,M)是 M M M上的切丛。 M M M上的向量场 X X X是一个映射 X : M → T ( M ) X:M\to T(M) X:M→T(M)，使得 π ∘ X \pi\circ X π∘X为 M M M上的恒等映射，即 ∀ p ∈ M , X : p ↦ X p ( ∈ T p ( M ) ) \forall p\in M,X:p\mapsto X_p(\in T_p(M)) ∀p∈M,X:p↦Xp(∈Tp(M))。

张量丛： 设 M M M是 m m m维 C k C^k Ck微分流形， T p ( M ) T_p(M) Tp(M)是 M M M在 p p p点的切空间。令 T s , p r ( M ) T^r_{s,p}(M) Ts,pr(M)为向量空间 T p ( M ) T_p(M) Tp(M)的 ( r , s ) (r,s) (r,s)型张量空间，令 T s r ( M ) ＝ ∪ p ∈ M T s , p r ( M ) T^r_s(M)＝\mathop\cup\limits_{p\in M}T^r_{s,p}(M) Tsr(M)＝p∈M∪Ts,pr(M)，通过映射

π : T s r ( M ) → M , ϕ p ↦ p , ∀ ϕ p ∈ T s , p r ( M ) \pi:T^r_s(M)\to M, \phi_p\mapsto p, \forall \phi_p\in T^r_{s,p}(M) π:Tsr(M)→M,ϕp↦p,∀ϕp∈Ts,pr(M)

可在 T s r ( M ) T^r_s(M) Tsr(M)上可引入拓扑和 C k − 1 C^{k-1} Ck−1微分结构，使其成为 m + m r + s m+m^{r+s} m+mr+s维 C k − 1 C^{k-1} Ck−1微分流形。 ( T s r ( M ) , π , M ) (T^r_s(M),\pi,M) (Tsr(M),π,M)或简记为 T s r ( M ) T^r_s(M) Tsr(M)，称为 M M M上的 ( r , s ) (r,s) (r,s)型张量丛，映射 π \pi π称为投影， T s , p r ( M ) T^r_{s,p}(M) Ts,pr(M)称为 T s r ( M ) T^r_s(M) Tsr(M)在 p p p点的纤维。

张量场： 设 M M M是 m m m维 C k C^k Ck微分流形， ( T s r ( M ) , π , M ) (T^r_s(M),\pi,M) (Tsr(M),π,M)是 M M M上的 ( r , s ) (r,s) (r,s)型张量丛。 M M M上的张量场 ϕ \phi ϕ是一个映射 ϕ : M → T s r ( M ) \phi:M\to T^r_s(M) ϕ:M→Tsr(M)，使得 π ∘ ϕ \pi\circ \phi π∘ϕ为 M M M上的恒等映射，即 ∀ p ∈ M , ϕ : p ↦ ϕ p ( ∈ T s , p r ( M ) ) \forall p\in M,\phi:p\mapsto \phi_p(\in T^r_{s,p}(M)) ∀p∈M,ϕ:p↦ϕp(∈Ts,pr(M))。张量场也称为其对应张量丛的一个截面。

外微分形式丛： 设 M M M是 m m m维 C k C^k Ck微分流形， T p ∗ ( M ) T^*_p(M) Tp∗(M)是 M M M在 p p p点的余切空间。令 ∧ r T p ∗ ( M ) \wedge^rT^*_p(M) ∧rTp∗(M)为向量空间 T p ∗ ( M ) T^*_p(M) Tp∗(M)的 r r r阶反称共变张量空间，令 ∧ r T ∗ ( M ) ＝ ∪ p ∈ M ∧ r T p ∗ ( M ) \wedge^rT^*(M)＝\mathop\cup\limits_{p\in M}\wedge^rT^*_p(M) ∧rT∗(M)＝p∈M∪∧rTp∗(M)，通过映射

π : ∧ r T ∗ ( M ) → M , ω p ↦ p , ∀ ω p ∈ ∧ r T P ∗ ( M ) \pi:\wedge^rT^*(M)\to M, \omega_p\mapsto p, \forall \omega_p\in \wedge^rT^*_P(M) π:∧rT∗(M)→M,ωp↦p,∀ωp∈∧rTP∗(M)

可在 ∧ r T ∗ ( M ) \wedge^rT^*(M) ∧rT∗(M)上可引入拓扑和 C k − 1 C^{k-1} Ck−1微分结构，使其成为 m + ( n r ) m+\binom{n}{r} m+(rn)维 C k − 1 C^{k-1} Ck−1微分流形。 ( ∧ r T ∗ ( M ) , π , M ) (\wedge^rT^*(M),\pi,M) (∧rT∗(M),π,M)或简记为 ∧ r T ∗ ( M ) \wedge^rT^*(M) ∧rT∗(M)，称为 M M M上的 r r r次外微分形式丛。

外微分形式： 设 M M M是 m m m维 C k C^k Ck微分流形， ( ∧ r T ∗ ( M ) , π , M ) (\wedge^rT^*(M),\pi,M) (∧rT∗(M),π,M)是 M M M上的 r r r次外微分形式丛。 M M M上的 r r r次形式 ω \omega ω是一个映射 ω : M → ∧ r T ∗ ( M ) \omega:M\to \wedge^rT^*(M) ω:M→∧rT∗(M)，使得 π ∘ ω \pi\circ \omega π∘ω为 M M M上的恒等映射，即 ∀ p ∈ M , ω : p ↦ ω p ( ∈ ∧ r T p ∗ ( M ) ) \forall p\in M,\omega:p\mapsto \omega_p(\in \wedge^rT^*_p(M)) ∀p∈M,ω:p↦ωp(∈∧rTp∗(M))。

外微分形式空间： 设 M M M是 m m m维 C k C^k Ck微分流形， M M M的所有 r r r次外微分形式组成的空间称为 M M M的 r r r次外微分形式空间，记为 A r ( M ) A^r(M) Ar(M)， A 0 ( M ) ＝ C k ′ ( M ) A^0(M)＝C^{k'}(M) A0(M)＝Ck′(M)。令 A ( M ) ＝ ∑ r = 0 m A r ( M ) A(M)＝\sum\limits_{r=0}^m A^r(M) A(M)＝r=0∑mAr(M)， A ( M ) A(M) A(M)称为 M M M上的外微分形式空间，它的元素称为外微分形式。

以下为简单起见，设 M M M为 C ∞ C^\infty C∞微分流形。

外微分： 设 M M M是 m m m维 C ∞ C^\infty C∞微分流形， A ( M ) A(M) A(M)是 M M M上的外微分形式空间。若映射 d : A r ( M ) → A r + 1 ( M ) d:A^r(M)\to A^{r+1}(M) d:Ar(M)→Ar+1(M)， 0 ≤ r ≤ m 0\le r\le m 0≤r≤m满足

(1) d d d是 R − R- R−线性的；

(2) 若 f ∈ A 0 ( M ) ≡ C ∞ ( M ) f\in A^0(M)\equiv C^\infty(M) f∈A0(M)≡C∞(M)，则 d ( f ) d(f) d(f)为 f f f的普通微分，且 d ( d ( f ) ) = 0 d(d(f))=0 d(d(f))=0；

(3) 若 ω ∈ A r ( M ) \omega\in A^r(M) ω∈Ar(M)， σ ∈ A ( M ) \sigma\in A(M) σ∈A(M)，则 d ( ω ∧ σ ) = d ω ∧ σ + ( − 1 ) r ω ∧ d σ d(\omega\wedge\sigma)=d\omega\wedge\sigma+(-1)^r\omega\wedge d\sigma d(ω∧σ)=dω∧σ+(−1)rω∧dσ，

则称映射 d d d为外微分算子，简称外微分。

闭形式与恰当形式： 设 M M M是 m m m维 C ∞ C^\infty C∞微分流形，对于 r r r次外微分形式 ω ∈ A r ( M ) \omega\in A^r(M) ω∈Ar(M)，若 d ω = 0 d\omega=0 dω=0，则称 ω \omega ω是闭形式。若存在 σ ∈ A r − 1 \sigma\in A^{r-1} σ∈Ar−1，使得 ω = d σ \omega=d\sigma ω=dσ，则称 ω \omega ω是恰当形式。

d e  R h a m \mathrm{de\ Rham} de Rham上同调群： 设 M M M是 m m m维 C ∞ C^\infty C∞微分流形， ω ∈ A r ( M ) \omega\in A^r(M) ω∈Ar(M)是 M M M上的 r r r次外微分形式空间，将其看作加法群，则外微分算子 d d d是一个群同态。令 d r d_r dr表示 d d d在 A r ( M ) A^r(M) Ar(M)上的限制，对 ∀ 0 ≤ r ≤ m \forall 0\le r\le m ∀0≤r≤m，记

Z r ( M ) = { d r ω = 0 ∣ ω ∈ A r ( M ) } = K e r ( d r ) B r ( M ) = { { ω ∈ A r ( M ) ∣ d r − 1 σ = ω , σ ∈ A r − 1 ( M ) } = I m ( d r − 1 ) , 1 ≤ r ≤ m 0 , r = 0 Z^r(M)=\{d_r\omega=0|\omega\in Ar(M)\}=\mathrm{Ker}(d_r)\\ B^r(M)=\left\{

{ω∈Ar(M)|dr−1σ=ω,σ∈Ar−1(M)}=Im(dr−1),0,1≤r≤mr=0

\right. Zr(M)={drω=0∣ω∈Ar(M)}=Ker(dr)Br(M)={{ω∈Ar(M)∣dr−1σ=ω,σ∈Ar−1(M)}=Im(dr−1),0,1≤r≤mr=0

则 Z r ( M ) Z^r(M) Zr(M)和 B r ( M ) B^r(M) Br(M)分别是 r r r次闭形式和 r r r次恰当形式构成的群，由于 d 2 = 0 d^2=0 d2=0， B r ( M ) ⊂ Z r ( M ) B^r(M)\subset Z^r(M) Br(M)⊂Zr(M)。 M M M的第 r r r个上同调群 H r ( M ) H^r(M) Hr(M)定义为

H r ( M ) = { Z r ( M ) / B r ( M ) , 0 ≤ r ≤ m 0 , o t h e r H^r(M)=\left\{

Zr(M)/Br(M),0,0≤r≤mother

\right. Hr(M)={Zr(M)/Br(M),0,0≤r≤mother

联络与曲率

黎曼流形与黎曼度量： 设 M M M是 m m m维 C k C^k Ck微分流形，如果在 M M M上存在一个 ( 0 , 2 ) (0,2) (0,2)型对称正定的 C k C^k Ck张量场 g g g，使得对 ∀ p ∈ M \forall p \in M ∀p∈M，切空间 T p ( M ) T_p(M) Tp(M)可看作具有度量 g p g_p gp的欧式空间，则称 ( M , g ) (M,g) (M,g)为 m m m维黎曼流形， g g g称为黎曼流形 M M M的黎曼度量。

仿射联络： 设 M M M是 m m m维 C ∞ C^\infty C∞微分流形， X ( M ) \mathcal{X}(M) X(M)是 M M M上的光滑向量场空间， M M M的一个仿射联络定义为一个映射

∇ : X ( M ) × X ( M ) → X ( M ) , ( X , Y ) ↦ ∇ X Y , \nabla:\mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M)\to\mathcal{X}(M),(X,Y)\mapsto \nabla_XY, ∇:X(M)×X(M)→X(M),(X,Y)↦∇XY,

使得对 ∀ X , Y , Z ∈ X ( M ) \forall X,Y,Z\in \mathcal{X}(M) ∀X,Y,Z∈X(M)和任意的 f , h ∈ C ∞ ( M ) f,h\in C^\infty(M) f,h∈C∞(M)，满足：

(1) ∇ f X + h Y Z = f ∇ X Z + h ∇ Y Z \nabla_{fX+hY}Z=f\nabla_XZ+h\nabla_YZ ∇fX+hYZ=f∇XZ+h∇YZ；

(2) ∇ X ( f Y + h Z ) = X ( f ) Y + f ∇ X Y + X ( h ) Z + h ∇ X Z \nabla_X(fY+hZ)=X(f)Y+f\nabla_XY+X(h)Z+h\nabla_XZ ∇X(fY+hZ)=X(f)Y+f∇XY+X(h)Z+h∇XZ.

∇ X Y \nabla_XY ∇XY称为 Y Y Y关于 X X X的共变导数或协变导数。

仿射联络的挠率： 设 M M M是 m m m维 C ∞ C^\infty C∞微分流形， ∇ \nabla ∇是 M M M上的仿射联络，定义映射

T : X ( M ) × X ( M ) → X ( M ) ,  ( X , Y ) ↦ T ( X , Y ) T ( X , Y ) = ∇ X Y − ∇ Y X − [ X , Y ] . T:\mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M)\to\mathcal{X}(M),\ (X,Y)\mapsto T(X,Y)\\ T(X,Y)=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]. T:X(M)×X(M)→X(M), (X,Y)↦T(X,Y)T(X,Y)=∇XY−∇YX−[X,Y].

称 T T T为仿射联络 ∇ \nabla ∇的挠率，若 T ≡ 0 T\equiv 0 T≡0，则称 ∇ \nabla ∇是无挠的或对称的。

仿射联络的曲率： 设 M M M是 m m m维 C ∞ C^\infty C∞微分流形， ∇ \nabla ∇是 M M M上的仿射联络，定义映射

R : X ( M ) × X ( M ) → E n d ( X ( M ) ) ,  ( X , Y ) ↦ R ( X , Y ) R ( X , Y ) = ∇ X ∇ Y − ∇ Y ∇ X − ∇ [ X , Y ] R ( X , Y ) Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z R:\mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M)\to \mathrm{End}(\mathcal{X}(M)),\ (X,Y)\mapsto R(X,Y)\\ R(X,Y)=\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X-\nabla_{[X,Y]}\\ R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z R:X(M)×X(M)→End(X(M)), (X,Y)↦R(X,Y)R(X,Y)=∇X∇Y−∇Y∇X−∇[X,Y]R(X,Y)Z=∇X∇YZ−∇Y∇XZ−∇[X,Y]Z

其中 E n d ( X ( M ) ) \mathrm{End}(\mathcal{X}(M)) End(X(M))是 X M \mathcal{X}{M} XM的全体自同态构成的空间，则称给定的 R ( X , Y ) R(X,Y) R(X,Y)是 ∇ \nabla ∇的曲率算子，对应的线性变换 R ( X , Y ) : X ( M ) → X ( M ) R(X,Y):\mathcal{X}(M)\to\mathcal{X}(M) R(X,Y):X(M)→X(M)称为曲率变换，三重线性映射 R : X ( M ) × X ( M ) × X ( M ) → X ( M ) R:\mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M)\to\mathcal{X}(M) R:X(M)×X(M)×X(M)→X(M)称为曲率张量。

黎曼联络： 设 ( M , g ) (M,g) (M,g)是 m m m维 C ∞ C^\infty C∞黎曼流形， ∇ \nabla ∇是 M M M上的仿射联络，如果满足

(1) ∇ X Y − ∇ Y X = [ X , Y ] \nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y] ∇XY−∇YX=[X,Y]，即 ∇ \nabla ∇的挠率 T ≡ 0 T\equiv 0 T≡0；

(2) ∀ X , Y , Z ∈ X ( M ) \forall X,Y,Z\in\mathcal{X}(M) ∀X,Y,Z∈X(M)， X ⟨ Y , Z ⟩ = ⟨ ∇ X Y , Z ⟩ + ⟨ Y , ∇ X Z ⟩ X\langle Y,Z\rangle=\langle\nabla_XY,Z\rangle+\langle Y,\nabla_XZ\rangle X⟨Y,Z⟩=⟨∇XY,Z⟩+⟨Y,∇XZ⟩， ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ \langle\cdot,\cdot\rangle ⟨⋅,⋅⟩表示关于 g g g的内积，

则称 ∇ \nabla ∇是 M M M上的黎曼联络，也称为 L e v i − C i v i t a \mathrm{Levi-Civita} Levi−Civita联络。

共变导数： 设 M M M是 m m m维 C ∞ C^\infty C∞微分流形， ∇ \nabla ∇是 M M M上的对称仿射联络（挠率为 0 0 0）， X ( T s r ( M ) ) \mathcal{X}(T^r_s(M)) X(Tsr(M))是 M M M上的 ( r , s ) (r,s) (r,s)型 C ∞ C^\infty C∞张量场空间。对于 X ∈ X ( M ) X\in\mathcal{X}(M) X∈X(M)，沿 X X X方向的共变导数定义为一个映射

∇ X : X ( T s r ( M ) ) → X ( T s r ( M ) ) \nabla_X:\mathcal{X}(T^r_s(M))\to\mathcal{X}(T^r_s(M)) ∇X:X(Tsr(M))→X(Tsr(M))

满足

(1) ∀ f ∈ C ∞ \forall f\in C^\infty ∀f∈C∞， ∇ X f = X ( f ) \nabla_Xf=X(f) ∇Xf=X(f)；

(2) 若 ϕ ∈ A 1 ( M ) = X ( T 1 0 ( M ) ) \phi\in A^1(M)=\mathcal{X}(T^0_1(M)) ϕ∈A1(M)=X(T10(M))，则对 ∀ Y ∈ X ( M ) \forall Y\in\mathcal{X}(M) ∀Y∈X(M)， ( ∇ X ϕ ) ( Y ) = X ( ϕ ( Y ) ) − ϕ ( ∇ X Y ) (\nabla_X\phi)(Y)=X(\phi(Y))-\phi(\nabla_XY) (∇Xϕ)(Y)=X(ϕ(Y))−ϕ(∇XY)；

(3) 若 ϕ ∈ X ( T s r ( M ) ) \phi\in\mathcal{X}(T^r_s(M)) ϕ∈X(Tsr(M))，则对 ∀ ω 1 , … , ω r ∈ A 1 ( M ) ,  Y 1 , … , Y s ∈ X ( M ) \forall \omega^1,\dots,\omega^r\in A^1(M),\ Y_1,\dots,Y_s\in\mathcal{X}(M) ∀ω1,…,ωr∈A1(M), Y1,…,Ys∈X(M)

( ∇ X ϕ ) ( ω 1 , … , ω r , Y 1 , … , Y s ) = ∇ X ( ϕ ( ω 1 , … , ω r , Y 1 , … , Y s ) ) − ∑ i = 1 r ϕ ( ω 1 , … , ∇ X ω i , … , ω r , Y 1 , … , Y s ) − ∑ i = 1 s ϕ ( ω 1 , … , ω r , Y 1 , … , ∇ X Y i , … , Y s ) .

(∇Xϕ)(ω1,…,ωr,Y1,…,Ys)=∇X(ϕ(ω1,…,ωr,Y1,…,Ys))−∑i=1rϕ(ω1,…,∇Xωi,…,ωr,Y1,…,Ys)−∑i=1sϕ(ω1,…,ωr,Y1,…,∇XYi,…,Ys).

(∇Xϕ)(ω1,…,ωr,Y1,…,Ys)=∇X(ϕ(ω1,…,ωr,Y1,…,Ys))−i=1∑rϕ(ω1,…,∇Xωi,…,ωr,Y1,…,Ys)−i=1∑sϕ(ω1,…,ωr,Y1,…,∇XYi,…,Ys).

共变微分： 设 M M M是 m m m维 C ∞ C^\infty C∞微分流形， ∇ \nabla ∇是 M M M上的对称仿射联络（挠率为 0 0 0）， M M M上的共变微分定义为一个映射

∇ : X ( T s r ( M ) ) → X ( T s + 1 r ( M ) ) ,  ϕ ↦ ∇ ϕ \nabla:\mathcal{X}(T^r_s(M))\to \mathcal{X}(T^r_{s+1}(M)),\ \phi\mapsto\nabla\phi ∇:X(Tsr(M))→X(Ts+1r(M)), ϕ↦∇ϕ

对 ∀ ω 1 , … , ω r ∈ A 1 ( M ) ,  X 1 , … , X s , X ∈ X ( M ) \forall \omega^1,\dots,\omega^r\in A^1(M),\ X_1,\dots,X_s,X\in\mathcal{X}(M) ∀ω1,…,ωr∈A1(M), X1,…,Xs,X∈X(M)

( ∇ ϕ ) ( ω 1 , … , ω r , X 1 , … , X s ; X ) = ( ∇ X ϕ ) ( ω 1 , … , ω r , X 1 , … , X s ) (\nabla\phi)(\omega^1,\dots,\omega^r,X_1,\dots,X_s;X)=(\nabla_X\phi)(\omega^1,\dots,\omega^r,X_1,\dots,X_s) (∇ϕ)(ω1,…,ωr,X1,…,Xs;X)=(∇Xϕ)(ω1,…,ωr,X1,…,Xs)

黎曼曲率张量： 设 ( M , g ) (M,g) (M,g)是 m m m维 C ∞ C^\infty C∞黎曼流形， R R R是黎曼联络 ∇ \nabla ∇的曲率张量，黎曼流形 M M M的黎曼曲率张量 R R R定义为一个映射

R : X ( M ) × X ( M ) × X ( M ) × X ( M ) → C ∞ ( M ) ( X , Y , Z , W ) ↦ R ( X , Y , Z , W ) ≡ ⟨ R ( Z , W ) Y , X ⟩ R:\mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M)\to C^\infty(M)\\ (X,Y,Z,W)\mapsto R(X,Y,Z,W)\equiv\langle R(Z,W)Y,X\rangle R:X(M)×X(M)×X(M)×X(M)→C∞(M)(X,Y,Z,W)↦R(X,Y,Z,W)≡⟨R(Z,W)Y,X⟩

⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ \langle\cdot,\cdot\rangle ⟨⋅,⋅⟩表示关于 g g g的内积。

平坦黎曼流形与平坦度量： 设 ( M , g ) (M,g) (M,g)是 m m m维 C ∞ C^\infty C∞黎曼流形， R R R是 M M M的曲率张量，若 R ≡ 0 R\equiv 0 R≡0，则称 M M M为平坦黎曼流形，称 g g g为平坦度量。

黎曼流形的等距同胚： 设 ( M , g ) (M,g) (M,g)和 ( M ~ , g ~ ) (\widetilde{M},\widetilde{g}) (M

,g

)都是 m m m维 C ∞ C^\infty C∞黎曼流形， ϕ : M → M ~ \phi:M\to\widetilde{M} ϕ:M→M

是微分同胚。若 ϕ ∗ g ~ = g \phi^*\widetilde{g}=g ϕ∗g

=g，则称 ϕ \phi ϕ是等距同胚，称 M M M与 M ~ \widetilde{M} M

相互等距。

黎曼流形切空间的平截面： 设 ( M , g ) (M,g) (M,g)是 m m m维 C ∞ C^\infty C∞黎曼流形， X p , Y p ∈ T p ( M ) X_p,Y_p\in T_p(M) Xp,Yp∈Tp(M)是两个线性无关向量， X p X_p Xp和 Y p Y_p Yp张成的空间 E ⊂ T p ( M ) E\subset T_p(M) E⊂Tp(M)，称为在 p p p点由 X p X_p Xp和 Y p Y_p Yp张成的平截面。

黎曼流形关于平截面的截面曲率： 设 ( M , g ) (M,g) (M,g)是 m m m维 C ∞ C^\infty C∞黎曼流形， E ⊂ T p ( M ) E\subset T_p(M) E⊂Tp(M)是一个平截面， X p , Y p X_p,Y_p Xp,Yp是 E E E中任意两个线性无关向量。对 ∀ X , Y , Z , W ∈ X ( M ) \forall X,Y,Z,W\in \mathcal{X}(M) ∀X,Y,Z,W∈X(M)，令 G ( X , Y , Z , W ) = ⟨ X , Z ⟩ ⟨ Y , W ⟩ − ⟨ X , W ⟩ ⟨ Y , Z ⟩ G(X,Y,Z,W)=\langle X,Z\rangle\langle Y,W\rangle-\langle X,W\rangle\langle Y,Z\rangle G(X,Y,Z,W)=⟨X,Z⟩⟨Y,W⟩−⟨X,W⟩⟨Y,Z⟩，则

K p ( E ) = R ( X p , Y p , X p , Y p ) G ( X p , Y p , X p , Y p ) K_p(E)=\frac{R(X_p,Y_p,X_p,Y_p)}{G(X_p,Y_p,X_p,Y_p)}\\ Kp(E)=G(Xp,Yp,Xp,Yp)R(Xp,Yp,Xp,Yp)

称为 M M M在 p p p点关于平截面 E E E的截面曲率，简称截曲率。

迷向黎曼流形： 设 ( M , g ) (M,g) (M,g)是 m m m维 C ∞ C^\infty C∞黎曼流形，若 M M M在 p ∈ M p\in M p∈M点关于任意平截面 E ∈ T p ( M ) E\in T_p(M) E∈Tp(M)的截面曲率 K p ( E ) K_p(E) Kp(E)的值相同，则称 M M M在 p p p点是迷向的，称 p p p点为 M M M的迷向点。如果 M M M在每一点都是迷向的，则称 M M M为迷向黎曼流形。

常曲率黎曼流形： 设 ( M , g ) (M,g) (M,g)是 m m m维 C ∞ C^\infty C∞黎曼流形，若 M M M在任意点 p ∈ M p\in M p∈M，关于任意平截面 E ∈ T p ( M ) E\in T_p(M) E∈Tp(M)的截面曲率 K p ( E ) K_p(E) Kp(E)的值相同，则称 M M M为常曲率黎曼流形。

R i c c i \mathrm{Ricci} Ricci张量场： 设 ( M , g ) (M,g) (M,g)是 m m m维 C ∞ C^\infty C∞黎曼流形， R R R是 M M M的曲率张量。 M M M的 R i c c i \mathrm{Ricci} Ricci张量场 S S S定义为一个二阶对称共变张量场

S : X ( M ) × X ( M ) → C ∞ ( M ) ,  ( X , Y ) ↦ R ( X , Y ) R ( X , Y ) = g i j ⟨ R ( e i , X ) Y , e j ⟩ S:\mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M)\to C^\infty(M),\ (X,Y)\mapsto R(X,Y)\\ R(X,Y)=g^{ij}\langle R(e_i,X)Y,e_j\rangle S:X(M)×X(M)→C∞(M), (X,Y)↦R(X,Y)R(X,Y)=gij⟨R(ei,X)Y,ej⟩

其中 { e i } \{e_i\} {ei}为任意局部标架， g i j = ⟨ e i , e j ⟩ g_{ij}=\langle e_i,e_j\rangle gij=⟨ei,ej⟩， ( g i j ) = ( g i j ) − 1 (g^{ij})=(g_{ij})^{-1} (gij)=(gij)−1。

R i c c i \mathrm{Ricci} Ricci曲率： 设 ( M , g ) (M,g) (M,g)是 m m m维 C ∞ C^\infty C∞黎曼流形， S S S是 M M M的 R i c c i \mathrm{Ricci} Ricci张量场。对于 p ∈ M p\in M p∈M和单位向量 X p ∈ T p ( M ) X_p\in T_p(M) Xp∈Tp(M)

R i c ( X p ) = S ( X p , X p ) \mathrm{Ric}(X_p)=S(X_p,X_p) Ric(Xp)=S(Xp,Xp)

称为 M M M在 p p p点沿 X p X_p Xp方向的 R i c c i \mathrm{Ricci} Ricci曲率。

爱因斯坦流形： 设 ( M , g ) (M,g) (M,g)是 m m m维 C ∞ C^\infty C∞黎曼流形，若对 ∀ p ∈ M \forall p\in M ∀p∈M， M M M在 p p p点沿 X p X_p Xp方向的 R i c c i \mathrm{Ricci} Ricci曲率 R i c ( X p ) \mathrm{Ric}(X_p) Ric(Xp)与 X p X_p Xp无关，仅是 p p p的函数，即 S = λ g  ( λ ∈ C ∞ ( M ) ) S=\lambda g\ (\lambda\in C^\infty(M)) S=λg (λ∈C∞(M))，则称 M M M为爱因斯坦流形。

R i c c i \mathrm{Ricci} Ricci变换： 设 ( M , g ) (M,g) (M,g)是 m m m维 C ∞ C^\infty C∞黎曼流形， S S S是 M M M的 R i c c i \mathrm{Ricci} Ricci张量场。 M M M在 p p p点的 R i c c i \mathrm{Ricci} Ricci变换 R ∗ R^* R∗定义为一个映射

R ∗ : X ( M ) → X ( M ) ,  X ↦ R ∗ ( X ) ⟨ R ∗ ( X ) , Y ⟩ = S ( X , Y ) ,  ∀ X , Y ∈ X ( M ) 即 R ∗ ( X ) = g i j R ( X , e i ) e j R^*:\mathcal{X}(M)\to \mathcal{X}(M),\ X\mapsto R^*(X)\\ \langle R^*(X),Y\rangle=S(X,Y),\ \forall X,Y\in \mathcal{X}(M)\\ 即R^*(X)=g^{ij}R(X,e_i)e_j R∗:X(M)→X(M), X↦R∗(X)⟨R∗(X),Y⟩=S(X,Y), ∀X,Y∈X(M)即R∗(X)=gijR(X,ei)ej

其中 { e i } \{e_i\} {ei}为任意局部标架， g i j = ⟨ e i , e j ⟩ g_{ij}=\langle e_i,e_j\rangle gij=⟨ei,ej⟩， ( g i j ) = ( g i j ) − 1 (g^{ij})=(g_{ij})^{-1} (gij)=(gij)−1。

纯量曲率： 设 ( M , g ) (M,g) (M,g)是 m m m维 C ∞ C^\infty C∞黎曼流形， R ∗ R^* R∗是 M M M在 p p p点的 R i c c i \mathrm{Ricci} Ricci变换。 M M M纯量曲率 ρ \rho ρ定义为 R ∗ R^* R∗的迹 t r R ∗ \mathrm{tr}R^* trR∗，即

ρ = t r R ∗ = g k l ⟨ R ∗ ( e k ) , e l ⟩ = g k l ⟨ g i j R ( e k , e i ) e j , e l ⟩ \rho=\mathrm{tr}R^*=g^{kl}\langle R^*(e_k),e_l\rangle=g^{kl}\langle g^{ij}R(e_k,e_i)e_j, e_l\rangle ρ=trR∗=gkl⟨R∗(ek),el⟩=gkl⟨gijR(ek,ei)ej,el⟩

其中 { e i } \{e_i\} {ei}为任意局部标架， g i j = ⟨ e i , e j ⟩ g_{ij}=\langle e_i,e_j\rangle gij=⟨ei,ej⟩， ( g i j ) = ( g i j ) − 1 (g^{ij})=(g_{ij})^{-1} (gij)=(gij)−1。纯量曲率也称数量曲率。

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