向量缩放以及张成空间
在向量前添加标量,在可视化的层面上,我们可以看到向量的长度会随着标量的改变而改变,这种情况我们称为向量的缩放。
通过向量的缩放,(两个变量复合可以决定结果向量的方向和值大小)复合向量可遍布所在空间任意一个点。
如何看待向量缩放
如果两个向量是同一点的零向量,则可将其作为一个点;
如果两个向量是同一方向或者反方向,则可将其作为一条线;
如果两个向量有不同的方向且不为零向量,则可将其作为一个平面;
矩阵与线性变换
一个向量可在其所在空间进行任意的线性变换。
每一个矩阵都可以看作是线性变换,矩阵乘法也是由线性变换的复合引出的。
变换本质上是函数的一种花哨的说法
input
-> f(transform) ->output
变换一词在暗示你用运动去思考,一种理解向量的函数的方法是使用运动。
使用变换是在暗示以特定方式来可视化这一输入-输出关系。
变换之后,新的v向量是变换之后的新的基向量的线性组合,组合系数没有改变。
复合变换
可以通过加入特定矩阵运算,来对空间向量进行变换。
矩阵相乘的先后顺序是有着操作的实际意义,所以矩阵操作顺序的改变会导致最终向量结果不同
M1*M2 != M2*M1
。
由于向量的运算是从右至左,所以结合律并不会影响最终向量结果,下述关系都是从M3 -> M2 -> M1
(M1M2)M3===M1(M2M3)