Area of a Surface of Revolution 旋转曲面的面积
先看一下简单物体的面积：
circular cylinder圆柱的侧面表面积：
可以直观得到：
而对应的circular cone圆锥：
我们可以得到对应的角弧度为：
最后，可以得到侧面积为：
而这样的图像：
我们可以知道是 大圆锥 - 小圆锥：
由相似可得：
最后化简得：
【圆锥可以理解为： 上面半径为 0 的 组合体】
我们设 r = (r1 + r2) / 2， 可以得：
我们对比 圆柱体， 组合圆锥体
我们可以理解 对应平均半径 的一个 带 的面积
这个时候，如果我们切分成很多细小的部分：
对应的面积可以表示为：
上一节， 我们证明过，对应的弧线的长，有：
这个时候，面积可以表示为：
所以，对应的侧面积和为：
当 n -> ∞的是i好， 由黎曼求和 可以得到
所以
对应的面积为：
莱布尼兹积分写法为：
或者，我们按y去积分，可以写为：
如果我们表示 ds 为：
我们分别可以表示为：
或者
例子1
我们知道是一个圆的一段弧长，围绕x轴旋转360度得到的表面积。
根据上面的公式
先对x求导，得到：
带入式子，得：
例子2
这个抛物线，这段弧长，围绕y轴旋转得到的表面积。
先对x求导，可以得到：
带入公式，可以得到：
我们设
可以得到：
原式可以变成（对应的范围变化就不标注了）：
