前几篇文章中，我们分别介绍了 Arruda-Boyce, neo-Hookean，和Mooney-Rivlin几种经典的超弹模型。今天，我们来聊一聊Yeoh超弹模型，也称作缩减多项式（Reduced Polynomial）模型。这也是以人的姓氏命名的超弹模型，用以感谢Oon Hock Yeoh在此橡胶超弹模型上作出的贡献。
1990年Yeoh发现炭黑填充橡胶即使在小应变状况下，剪切模量会发生显著的减小。1993年，Yeoh发现即使没有没有炭黑填充的橡胶，也会具有这种现象。然后他通过加入一个含有指数衰减的项，来描述此现象。并在Rubber Chemistry and technology发表了一篇名为Some forms of the strain energy function for rubber的论文来描述了这个理论。WELSIM已经支持了Yeoh非线性模型。
关于Oon Hock Yeoh本人的信息很少，只能从姓氏知道是一位马来西亚华人，姓氏对应的中文的是“姚”。算是有限元体系中为数不多含有华人元素的理论吧。Yeoh现在是美国Freudenberg-NOK密封科技公司的会士员工，曾经在马来西亚橡胶研究所（RRIM），Akron大学, 美国GenCorp研究所，美国Lord公司工作过。和Mooney与Rivlin等物理学家一样，都是工业界中，从事橡胶研究的力学家。
和其他超弹模型一样，我们用弹性应变能函数来描述此模型。Yeoh模型的弹性应变能函数为：
其中，J是变形后与变形前的体积比，对不可压缩材料，J=1。I1是第一应变张量不变量。N, Ci0和Di为输入参数。从应变能函数可以看出:
1. Yeoh和Mooney-Rivlin非常类似，同属于多项式（Polynomial）形式家族。同样阶数下，由于不考虑第二张量不变量I2的作用，Yeoh要比Mooney-Rivlin形式上要简单许多，只是在含有不可压缩参数D的项会存在高阶的复杂性。
2. 初始剪切模量为2*C10，初始模量为2/D1。为了保证初始剪切模量为正值，参数C10必须大于0。
3. 虽然阶数参数N可以很大，但实际应用中，我们至多只用到3阶。由于当N=1时，等同于neo-Hookean模型。所以一般推荐使用N=3的3阶版本，以此体现出Yeoh模型的优越性。
4. N>=3时可以描述典型的反S形橡胶应力-应变曲线。
Yeoh优点
1. 简单，参数少。用户只需很少的实验数据就可得到合理的数值结果，输入参数可以仅通过拉伸数据获得。
2. 可描述的变形范围较宽，在很大的单轴拉伸和简单剪切变形可得到合理的结果。
3. 高阶形式能够体现反S型应力-应变曲线，能模拟应变后期材料刚度急剧上升特点。高阶版本可以描述炭黑填充橡胶的变剪切模量的特性。
Yeoh缺点
1. 在预测等双轴拉伸的应力-应变关系时，表现出一些偏差。
2. 在处理复杂综合应变时，会有较大偏差。
3. 对于小应变工况，需要谨慎选择参数。在小应变区，Yeoh模型和实验数据会存在偏差，但对于有限元分析中这点偏差并不严重，因为在小应变区应力很小，尽管相对误差可能很大，但是绝对误差很小。
Yeoh模型的非线性有限元分析
选用Yeoh 3 超弹材料，并输入炭黑填充橡胶的参数C10=0.57382 MPa, C20=-7.4744e-2 MPa, C30=1.1321e-2 MPa, D1=0.01 MPa^-1, D2=0.1 MPa^-1, D3=0.5 MPa^-1.
导入橡胶几何体，划分网格，约束底部，并在顶端施加向上拉伸100mm的位移
求解并加入结果节点，显示应力云图和时间历程下最大最小值。应力最大值曲线体现出非线性。
橡胶结构底部的反作用力为96.39N。
最后附上操作视频，供大家参考。
