起源
线性代数的研究源自对于二维三维空间下向量的研究。
向量
这里只探究在数学中的表示，每个维度用一个分量表示，用列表示如下：
乘法于加法是线性组合最重要的两个概念
向量乘因子
等于乘以各分量
向量相加
等于各分量相加
将这两个操作组合在一起就是线性组合
对于二维空间而言，如果v和w不共线，则将填充整个二维空间。
三维空间的话，则未必了。如下所示
p1
可能共面、共线，其线性组合会产生可能填充直线、平面或者整个空间的效果。
点乘
即各元素相乘相加之和长度
即各元素点乘开平方
两个不同向量的点乘等于二者夹角的cos
证明嘛如下
p2
矩阵
将线性组合改写为
的形式，向量
则变为矩阵
的列。系数
变为向量
的元素。
就是矩阵了。
矩阵可逆
首先明确下什么是可逆矩阵，很简单，如下
对于
则是可逆矩阵。也就是对于
的线性组合而言，存在另外一个矩阵
的线性组合
，反向求出
。
那么什么条件下矩阵是可逆的呢？
牵扯到前面的空间的概念，从三维空间来讲，如果各列之间Independent，则矩阵是可逆的，反之则不可逆。矩阵的两列或者N列存在组合关系，例如
说明是无用的列，
存在很多解。反之，只有唯一解。
