反射和透射之垂直入射

还记得初中物理讲光的反射和折射吗？那时候我们知道“入射角等于反射角”，还知道“全反射”这个现象，但是我们肯定不知道原因。接下来的推导会让你明白这一切是怎么回事。

说完了均匀平面波在无界均匀媒质中的传播，接下来就是反射和透射的讨论。这篇博客讨论垂直入射这种简单情况，下一篇讨论斜入射的情况。

每种入射根据介质的不同又可分为导电媒质、理想导体和理想介质三种情况。我们实际上只讨论两个问题，入射、反射和透射的关系是什么？（反射系数和透射系数），入射和反射的合成波是什么样子（驻波和行驻波）

关键词：反射系数，透射系数，驻波，行波，半波损失

对导电媒质分界面的垂直入射

对理想导体平面的垂直入射

谈谈均匀平面波对理想导体平面的垂直入射，以及其产生的驻波

故媒质1中的合成波的电场和磁场的瞬时值表达式分别为
${\vec E_1}\left( {z,t} \right) = {\vec e_x}2{E_{im}}\sin {\beta _1}z\sin \omega t$
${\vec H_1}\left( {z,t} \right) = {\vec e_y}\frac{{2{E_{im}}}}{{{\eta _1}}}\cos {\beta _1}z\cos \omega t$

由此可见，媒质1区中的合成波的相位仅仅与时间有关，这就意味着空间各点合成波的相位相同，

电场与磁场在时间上有 $\frac{\pi }{2}$ 的相移,在空间位置上错开 $\frac{\lambda }{4}$ ，

时空关系图

空间各点的电场强度的振幅随z按正弦函数变化，即
$\left| {{E_1}\left( z \right)} \right| = 2{E_{im}}\left| {\sin {\beta _1}z} \right|$
最大值为2Eim，最小值为0。磁场强度的振幅随z按余弦函数变化，即
$\left| {{H_1}\left( z \right)} \right| = \frac{{2{E_{im}}}}{{{\eta _1}}}\left| {\cos {\beta _1}z} \right|$
最大值为2Eim/η1，最小值也为0。合成波在空间

驻波图

对理想介质分界面的垂直入射

媒质1和媒质2均为理想介质，即σ1=σ2=0，则

反射系数和透射系数

$\left\{ \begin{array}{l} \Gamma = \frac{{{\eta _2} - {\eta _1}}}{{{\eta _2} + {\eta _1}}}\\ \tau = \frac{{2{\eta _2}}}{{{\eta _2} + {\eta _1}}} \end{array} \right.$
在这种情况（理想介质）下，η1和η2皆为实数（关系就简单多了）

当η2>η1时，Γ>0，反射波电场与入射波电场同相；当η2<η1时，Γ<0，反射波电场与入射波电场反相（差π，即存在 半波损失）

媒质密度和波速的乘积称为波阻。波阻大的媒质称为波密媒质，波阻小的媒质称为波疏媒质。
波从波疏介质射向波密介质时反射过程中，反射波在离开反射点时的振动方向相对于入射波到达入射点时的振动相反，或者说，反射波相对于入射波相位突变π，这种现象叫做半波损失。————百度百科

我并没有看懂“媒质密度和波速的乘积称为波阻”这句话的意思，但是光梳光密我是知道的。我们把折射率较小（光在其中传播速度速较大）的介质叫做光疏介质，折射率较大（光在其中传播速度速较小）的介质叫光密介质。对于常见的非磁性媒介，μ1≈μ2≈μ0，因此 $n=c\sqrt{\mu_0 \varepsilon }$ 且 $\eta = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon}}$ 。所以η2<η1也可以变为n2>n1，从而说光疏到光密会发生半波损失。想象一个急冲冲的人撞上了一堵密密的墙，总是要晕一会（半个周期）才能爬起来，原路返回。

我们在全反射的时候还会强调非磁性媒介这一概念。

透射波电场与入射波电场总是同向

合成波的情形

则媒质1中的合成波的电场和磁场分别为
$\begin{align*} {\overrightarrow E _1}\left( z \right) &= {\overrightarrow E _i}\left( z \right) + {\overrightarrow E _r}\left( z \right)\\ &= {\overrightarrow e _x}{E_{im}}\left[ {{e^{ - j{\beta _1}z}} + \Gamma {e^{j{\beta _1}z}}} \right]\\ &= {\overrightarrow e _x}{E_{im}}\left[ {\left( {1 + \Gamma } \right){e^{ - j{\beta _1}z}} + \Gamma \left( {{e^{j{\beta _1}z}} - {e^{j{\beta _1}z}}} \right)} \right]\\ &= {\overrightarrow e _x}{E_{im}}\left[ {\left( {1 + \Gamma } \right){e^{ - j{\beta _1}z}} + \Gamma \left( {j2\sin {\beta _1}z} \right)} \right]\\ &= {\overrightarrow e _x}{E_{im}}\left[ {\left( {1 + \Gamma } \right){e^{ - j{\beta _1}z}} + j2\Gamma \sin {\beta _1}z} \right] \end{align*}$

$\begin{align*} {\overrightarrow H _1}\left( z \right) &= {\overrightarrow H _i}\left( z \right) + {\overrightarrow H _r}\left( z \right)\\ &= {\overrightarrow e _y}\frac{{{E_{im}}}}{{{\eta _1}}}\left( {{e^{ - j{\beta _1}z}} - \Gamma {e^{j{\beta _1}z}}} \right) \end{align*}$

而媒质2中透射波的电场和磁场分别为
${\overrightarrow E _2}\left( z \right) = {\overrightarrow E _t}\left( z \right) = {\overrightarrow e _x}\tau {E_{im}}{e^{ - j{\beta _2}z}}$
（好吧，其实透射波不重要，别看了）

媒质1中的合成波电场包含两部分：第一部分包含传播因子，实振幅为(1+Γ)Ein、沿+z方向传播的行波，第二部分是振幅为2ΓEim的驻波。合成波电场的振幅为
$\begin{align*} \left| {{E_1}\left( z \right)} \right| = {E_{im}}\left| {{e^{ - j{\beta _1}z}} + \Gamma {e^{j{\beta _1}z}}} \right|\\ = {E_{im}}\left| {1 + \Gamma {e^{j2{\beta _1}z}}} \right|\\ = {E_{im}}\left| {1 + \Gamma \cos 2{\beta _1}z + j\Gamma \sin \left( {2{\beta _1}z} \right)} \right|\\ = {E_{im}}\sqrt {1 + {\Gamma ^2} + 2\Gamma \cos 2{\beta _1}z} \end{align*}$

由此可知，当Γ>0，即η2>η1，在 $2{\beta _1}z = - 2n\pi$ ，即 $z = - \frac{{n\pi }}{{{\beta _1}}} = - \frac{{n{\lambda _1}}}{2}$ 处，合成波电场振幅 $\left| {{E_1}\left( z \right)} \right|$ 的值最大，且 ${\left| {{E_1}\left( z \right)} \right|_{\max }} = {E_{im}}\left( {1 + \Gamma } \right)$

Γ>0

Γ<0

合成波磁场的振幅为
$\left| {{H_1}\left( z \right)} \right| = \frac{{{E_{im}}}}{{{\eta _1}}}\sqrt {1 + {\Gamma ^2} - 2\cos 2{\beta _1}z}$

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