因果推断推荐系统工具箱 - TCF (三)

文章名称

Tripartite Collaborative Filtering with Observability and Selection for Debiasing Rating Estimation on Missing-Not-at-Random Data

核心要点

上一节描述了TCF框架的一种模型实现TPMF的3个子模型的最后一个部分CRM。本节具体讲解如何学习整个模型。

方法细节

问题引入

TPMF是具有隐变量的多元生成模型，具体结构如下图所示。在利用给定数据优化具有隐变量的生成模型是，我们通常会想到EM算法。

具体做法

Optimization

E-step

在E步，由于用户的评分矩阵和观测矩阵是部分可用的，我们可以用这些数据来估计哪些缺失的物品（即 $s_{i, j} = 0$ ）的评分和被观测的可能性。但是为了方便隐变量的更新，作者将对评分矩阵的期望值的求解放到了M-step。
求解被观测矩阵的方法如下图所示。其中， $\phi(i, j, l) = p({r}_{i, j} = l | \hat{r}_{i, j})$ ，利用到当前参数下的评分估计值 $\hat{r}_{i, j}$ 。此外，利用到了用户选择估计值 $\hat{s}_{i, j}$ 。

image.png

其中，

\hat{r}_{i, j}

的估计值在上述方法描述中是连续的，作者采用阶梯函数把连续评分转换为离散的评分。具体步骤是，首先定义一系列边界，

b_0,b_1,··· ,b_L

其中

b_0 = −∞, b_1 = 1,··· ,b_L−1 = L−1,b_L =∞

。模型估计的用户评分的连续值落在哪个区间，就代表哪个离散评分。那么如何衡量

\hat{r}_{i, j}

落在哪个区间呢？采样是比较低效的。由于

\hat{s}_{i, j} \sim

\mathcal{ N } (\hat{r}_{i, j}, \sigma)

，因此，可以采用累积分布函数的方式来判断。给定

\hat{r}_{i, j}

下

{r}_{i, j} = l

的概率如下图所示，其中，

\Phi

是正态分布的累积分布函数。

评分区间概率

累积概率分布函数

M-step

首先，更新被观测矩阵的先验概率 $\mu_{i, j}$ ，主要是累积当前观测到的曝光，具体公式如下图所述。

更新观测的先验概率

为了更新隐变量（这里指的是

\Omega

），我们利用估计的观测矩阵

O

以及超参数

\Theta

，并且把数据分成可以获得

R_{{A}}

（也就是实际有评分的）和缺失的两部分

R_{\overline{A}}

。整体的目标函数如下图所示，其中

\rho = log \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}_s}}

，是独立于

\Oemga

的，

\mathcal { C}

是常数。由于目标函数没有解析解，因此采用梯度上升来最大化目标，来得到最优的参数

\Omega

。

隐变量更新目标

代码实现

算法伪代码如下。

pseudo code

心得体会

因果推断

看似这篇文章和因果推断没有任何联系，但是看过ExpoMF的同学应该会理解，这里的生成模型借助了很多概率图的内容，与因果图具有天然的联系。并且，隐变量的学习和控制，实际上是因果矫正的一种方式。

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