信号与系统

信号

信号的基本变换
- 时移： $x(t-t_0)$ 右移 $t_0$
- 时间反转： $x(-t)$
- 尺度变换： $x(2t)$ 两倍速度， $x(t/2)$ 速度降低一半
连续信号与离散信号
单位冲激与单位阶跃信号
周期信号
- 连续函数 $x(t) = x(t + T)$ ，使上式成立的最小T为基波周期 $T_0$
- 离散函数 $x[n] = x[n - N]$ ，使上式成立的最小N为基波周期 $N_0$
偶信号与奇信号
- 偶 $x(-t) = x(t), x[n] = x[-n]$
- 奇 $x(-t) = -x(t), x[-n] = -x[n]$
- 任何信号都可以分解为偶信号与奇信号之和，偶部： $Re[x(t)] = \frac 12 [x(t) + x(-t)]$ ，奇部： $Im[x(t)] = \frac 12 [x(t) - x(-t)]$
连续函数
- C和a都是实数，则x(t)为实指数信号
- a为纯虚数，x(t)为周期信号
- 一般情况下， $C=|C|e^{j\theta},a=r+j\omega_0$ , $Ce^{at}=|C|e^{j\theta}e^{(r+j\omega_0)t}=|C|e^{rt}e^{j(\omega_0t+\theta)}$ ，可见， $\theta$ 为相位，r控制振幅的增长或衰减

一、周期函数
$x(t) = e^{j\omega_0t} = cos(\omega_0t) + jsin(\omega_0t)$
$T_0=\frac{2\pi}{|\omega_0|}$ , $\omega_0=2\pi f_0$ , $f_0=\frac1{T_0}$
$Acos(\omega_0t+\phi) = ARe[e^{j(\omega_0t+\phi)}]$
$Asin(\omega_0t+\phi) = AIm[e^{j(\omega_0t+\phi)}]$
$\omega$ 单位为rad/s， $t$ 单位为s， $\phi$ 单位为rad， $f$ 单位为周期/s，即Hz， $T$ 单位为秒/周期
二、谐波
$\phi_k(t) = e^{jk\omega_0t}, k = 0, \pm1, \pm2,...$
若k=0, $\phi(t)$ 是常数，其他k值， $\phi(t)$ 是周期的，基波周期为 $\frac {T_0}{k}$ ，即在任何长度为 $T_0$ 的长度内，恰好通过了k个基波周期，所以第k次谐波对 $T_0$ 来说仍然是周期的。

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离散信号或
- C和a都是实数，则x[n]为实指数信号
- $\beta$ 为纯虚数， $x[n]=e^{j\omega_0n}$ 为正弦信号
- 一般情况下，x[n]为增长或衰减的正弦信号

一、实指数信号的形状与a的值有关，a>1增长，a<1衰减，a>0同号，a<0异号

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二、离散正弦信号的周期性
连续信号 $e^{j\omega_0t}$ 有如下性质：(1) $\omega_0$ 越大频率越高；(2)对任何 $\omega_0$ 值都是周期的。
而对于离散信号 $e^{j\omega_0n}$ ：
(1) $e^{j(\omega_0+2\pi)n}=e^{j2\pi n}e^{j\omega_0n}=e^{j\omega_0n}$ ，离散时间复指数信号在 $\omega_0+2k\pi$ 和 $\omega_0$ 是完全一致的，这是由于采样导致的结果；
(2) 要使信号为周期信号，必须满足 $\omega_0N=2\pi m$
(3) 若N和m没有公因子，那么基波周期就是 $N=m(\frac{2\pi}{\omega_0})$ ，基波频率就是 $\frac {\omega_0} m$

系统

连续时间系统： $x(t) \rightarrow y(t)$
离散时间系统： $x[n] \rightarrow y[n]$
系统互联：串联、并联、反馈
记忆性
- 无记忆系统仅与当前输入有关
- 记忆系统如累加器、延迟单元等，与过去的输入有关
可逆性：若不同的输入有不同的输出，则系统可逆
因果性：若系统只决定与当前及过去的输入，则为因果系统
稳定性：输入有界，输出有界
时不变性：系统性质不随时间改变
线性：可加性与齐次性

线性时不变系统与卷积

用脉冲表示离散时间信号： $x[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]\delta[n-k]$
线性系统：令 $h_k[n]$ 为线性系统对脉冲 $\delta(n-k)$ 的响应，因此线性系统对x[n]的响应 $y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h_k[n]$
时不变系统： $h_k[n]=h_0[n-k]$
LTI系统（卷积和）： $y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]h[n-k] = x[n] * h[n]$
理解卷积1（看作n的函数）
$y[n] = ... + x[0]h[n-0] + x[1]h[n-1]+...$

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理解卷积2（看作k的函数）
$y[0] = \sum_k x[k]h[0-k]$
$y[1] = \sum_k x[k]h[1-k]$ ...

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信号与系统

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线性时不变系统与卷积

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