线性代数（6）——向量空间

1、向量空间（Vector Space）

对于向量空间的维度：

Example:

$R^2$ = all 2-dim real vectors，如， $\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ ，相当于一个x-y平面；

$R^3$ = all vectors with 3 components;

$R^n$ = all column vectors with n real components;

1.1 子向量空间（Sub-space of Vector Space）

在乘法/加法运算下，子向量空间必须是封闭的，不能超出原向量空间；

Example:

$R^2$ 的子空间有：1）整个 $R^2$ ；2）所有穿过 $\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}$ 的线；3）零向量 Z；

$R^3$ 的子空间有：1）所有通过原始平面的平面；2）所有穿过 $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ 的线；3）零向量 $Z= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ ；

关于子空间之间的运算：

假设有两个子空间P和L，则有

1） $P\cup L =$ all vectors in P or L or both；此时， $P\cup L$ 不再是一个子空间。因为当添加其他向量时，结果可能不穿过原点，即不在原空间里。

2） $P\cap L=$ all vectors in both P and L；此时， $P\cap L$ 是一个子空间。因为P和L至少有唯一一个共同点零向量。

e.g. 假设向量v和w同时属于子空间P和L，则v+w仍同时在P和L空间中，即 $(v+w)\subseteq (P\cap L)$ 。

关于向量空间的要求：

1）对于向量空间中的向量v和w，v+w和c·v仍在该空间中（其中c为常数）；

2）对于向量空间中的向量v和w，所有的线性组合c·v+d·w仍在该空间中（其中c，d为常数）；

因此，向量空间包含了向量间的加和或者常数乘积或者线性组合，但不包含向量*向量的组合。

2、矩阵的列向量空间（Column Space of Matrix）

以 $A= \begin{bmatrix} 1&1&2 \\ 2&1&3\\ 3&1&4\\ 4&1&5 \end{bmatrix}$ 为具体例子：

A的列向量空间C(A)属于四维的 $R^4$ ；其列向量空间包含所有列的线性组合。

实际A中，第三列为第一、二列的加和，属于线性组合，对空间没有贡献，因此A称为 $R^4$ 的二维子空间。

2.1 列向量空间对于研究方程组的意义

提出问题：对于上述A，什么样的b能使得Ax=b有解，即方程组有解？

列举使得方程组有解的b，有：

1）当 $b=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}时， x=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$ ; 2）当 $b=\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}时， x=\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}$ ；

3）当 $b=\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4 \end{bmatrix}时， x=\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$ ；4）当 $b=\begin{bmatrix} 2\\ 3\\ 4\\ 5 \end{bmatrix}时， x=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$ ；

由上可以总结，当b存在于A的列向量空间时，x有解，即方程组有解。

3、矩阵的零空间（Null Space of Matrix）

矩阵A的零空间N(A)包含了所有Ax=0的解。即当b为零向量时，x的所有解。

对于矩阵A，其列向量空间C(A)属于 $R^4$ ， $x=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}$ 属于 $R^3$ 。此时有：

1）当x为零向量时，b为零向量一定成立；

2）由于A的第三列等于第一、二列的加和，则当 $x=\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ -1 \end{bmatrix}$ 时，b为零向量；

由于向量空间包含了向量的线性组合，因此零空间包含 $x=\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ -1 \end{bmatrix}$ 的所有线性组合，则有，

$N(A)= cx=c\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ -1 \end{bmatrix}$

结论：所有Ax=0的解生成一个子空间。

1）若 $Ax=0且Ax^*=0, 则Ax+Ax^*=A(x+x^*)=0$ 。

2）若 $Ax=0,则A(cx)=0,c$ 为常数。