在本篇开始前，先向大家推荐一本书：《3D数学基础：图形与游戏开发》
这本书很多游戏相关的数学知识都讲得很细，值得一看。以前学的东西好多都还给老师了，啃这本书，补回了以前的好多知识啊！（本人数学渣，看这本书费了点时间，还好之前学过，能懂在讲什么。。。）

本文章面向的对象是有3D数学基础但是由于长时间没接触变生疏，或对某些知识点理解尚有问题的人群。

坐标系

首先要讲的是坐标系，在3D中，坐标系类型有很多，比较重要的是3D坐标系，常见的分两种：左手坐标系和右手坐标系，主要区别是Z轴的方向（我们定义X轴默认正方向为右，Y轴默认正方向为上），左手系Z轴正方向为指向屏幕内部，右手系Z轴正方向为指向屏幕外部：

左手系 （图截自《3D数学基础：图形与游戏开发》）

右手系 （图截自《3D数学基础：图形与游戏开发》）

Ps：在Unity中，默认使用的是左手坐标系（摄像机的观察空间（以摄像机为原点的坐标系）除外）。

在一个空间中，有了坐标系的存在，就可以确定空间中物体的具体位置。

向量

向量首先要跟标量区分：向量具有方向和大小等概念，而标量只有大小。在Unity中常用的向量有法线、切线等。

在表示形式上，向量可以用一个一维数组表示，比如：
![][1]
[1]:http://latex.codecogs.com/png.latex?a=\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}
或
![][2]
[2]:http://latex.codecogs.com/png.latex?a=\begin{bmatrix}1\2\3\end{bmatrix}
横向书写的称为行向量，竖向书写的称为列向量，向量中的每一个分量对应于其n维空间中的分量，上例中分量为x、y、z，至于在使用时是用行还是列，要根据实际情况来确定。（后面会提到）
而在物理中，向量具有其实际意义：比如上述的a向量，表示由一个点到另外一个点位移，上式中，表示点A向x方向移动1个单位，y方向移动2个单位，z方向移动3个单位到达点B。（注意，在坐标系中，位移没有具体的位置，可以在任意位置表示，只表示位移量和方向）

向量运算

向量大小：向量的大小也称为向量的模，表示位移量的大小，以3维向量为例：
![][1]
[1]:http://latex.codecogs.com/png.latex?a=\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}
该向量的大小计算为：
![][3]
[3]:http://latex.codecogs.com/png.latex?\left|a\right|=\sqrt{1²⁺²2+3^2}
即为两点间的距离公式
在Shader中，我们经常要将向量标准化（也称为归一化），也就是把向量的大小置为1，在坐标系中可以理解为以一个点为圆（球）心，半径为1的一个圆（球）
标准化公式如下：
![][4]
[4]:http://latex.codecogs.com/png.latex?a_{normal}=\frac{a}{\left|a\right|}

单位圆 （图截自《3D数学基础：图形与游戏开发》）

向量运算

向量的运算很简单，其实就是各个分类的相加减。
以加法为例（减法相同）：
![][5]
[5]:http://latex.codecogs.com/png.latex?\begin{bmatrix}1\2\3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\2\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+3\2+2\3+1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\4\4\end{bmatrix}

向量运算几何意义：

a+b：a的起点到b的终点的向量；
c-d：d的终点到c的终点的向量；

向量加减 （图截自《3D数学基础：图形与游戏开发》）

向量点乘

点乘形式：
![][6]
[6]:http://latex.codecogs.com/png.latex?\begin{bmatrix}a_1\a_2\a_3\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}b_1\b_2\b_3\end{bmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3
几何点乘公式：
![][7]
[7]:http://latex.codecogs.com/png.latex?a\cdot{b}=\left|a\right|*\left|b\right|\ast\cos\theta
其几何意义为向量a在向量b上的投影（当夹角大于90°时结果为负值）

点乘 （图截自《3D数学基础：图形与游戏开发》）

向量点乘结果为一个标量。

向量叉乘

叉乘形式：
（其实就是，除当前行外的另外两行组成2*2矩阵，主对角线的乘积减去副对角线的乘积）
![][9]
[9]:http://latex.codecogs.com/png.latex?\begin{bmatrix}x_1\y_1\z_1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}x_2\y_2\z_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y_1z_2-z_1y_2\z_1x_2-x_1z_2\x_1y_2-y_1x_2\end{bmatrix}
几何叉乘：
向量叉乘结果为垂直于两向量所在平面的向量，叉乘结果向量的方向由两个，取决于坐标系为左手坐标系还是右手坐标系。
方向分辨方法为（a x b为例）：
左手系：通过左手法则判断，四指由a向量收向b向量，拇指方向即为结果向量方向。
右手系：通过右手法则判断，四指由a向量收向b向量，拇指方向即为结果向量方向。

左手法则/右手法则 （图截自《3D数学基础：图形与游戏开发》）

叉乘 （图截自《3D数学基础：图形与游戏开发》）

矩阵

先下个简单的定义：
如果说向量是标量的数组，矩阵则是向量的数组。

在Unity中，方阵较为常用。方阵是行跟列维数相同的矩阵：
![][10]
[10]:http://latex.codecogs.com/png.latex?\begin{bmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{bmatrix}
当非对角线元素全为0，则称这种矩阵为对角矩阵：
![][11]
[11]:http://latex.codecogs.com/png.latex?\begin{bmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&3\end{bmatrix}
当对角矩阵对角线全为1，则称该矩阵为单位矩阵：
![][12]
[12]:http://latex.codecogs.com/png.latex?\begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1\end{bmatrix}

矩阵乘法

为方便起见，以二维矩阵为例子：
![][15]
[15]:http://latex.codecogs.com/png.latex?\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{bmatrix}

向量与矩阵的乘法

![][16]
[16]:http://latex.codecogs.com/png.latex?\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}m_{11}&m_{12}&m_{13}\m_{21}&m_{22}&m_{23}\m_{31}&m_{32}&m_{33}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}xm_{11}+ym_{21}+zm_{31}&xm_{12}+ym_{22}+zm_{32}&xm_{13}+ym_{23}+zm_{33}\end{bmatrix}
![][17]
[17]:http://latex.codecogs.com/png.latex?\begin{bmatrix}m_{11}&m_{12}&m_{13}\m_{21}&m_{22}&m_{23}\m_{31}&m_{32}&m_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\y\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}xm_{11}+ym_{12}+zm_{13}\xm_{21}+ym_{22}+zm_{23}\xm_{31}+ym_{32}+zm_{33}\end{bmatrix}
由上可见，行向量左乘矩阵，结果是行向量；列向量右乘矩阵，结果是列向量。
（Ps：在Unity中，常把向量方在矩阵的右侧，即使用列向量进行运算。此种情况下，我们阅读的顺序应为从右往左阅读，即：CBAv为对向量v先进行A矩阵变换，再进行B，最后进行C矩阵变换。矩阵变换请往后看）

矩阵的几何意义

矩阵常用与坐标系的转换。
先给出理解：矩阵中的每一行都能解释为转换后的基向量（基向量：坐标轴向量，在三维空间中维X,Y,Z轴，当长度为1时称为标准基向量）。
先用2维坐标为例：
对变换矩阵：
![][18]
[18]:http://latex.codecogs.com/png.latex?M=\begin{bmatrix}2&1\-1&2\end{bmatrix}

坐标轴变换 （图截自《3D数学基础：图形与游戏开发》）

如上图所示：x轴从水平单位长度转换到点p(2,1)，y轴从垂直单位长度转换到点q(-1,2)；也就是说，该矩阵所达到的效果是让坐标系旋转角度并比例放大，换个说法，坐标轴从原来的坐标系转换到了新的坐标系了。

转换效果 （图截自《3D数学基础：图形与游戏开发》）

上图可以看到转换效果：旋转并放大

下面看看3维坐标的效果：
3D变换矩阵：
![][19]
[19]:http://latex.codecogs.com/png.latex?\begin{bmatrix}0.707&-0.707&0\1.250&1.250&0\0&0&1\end{bmatrix}

原效果 （图截自《3D数学基础：图形与游戏开发》）

转换后 （图截自《3D数学基础：图形与游戏开发》）

可以看到，变换矩阵中每一行对应变换X,Y,Z轴，该变换矩阵的效果为沿Z轴旋转45°，并进行不规则缩放。

我们可以得出结论：

• 方阵的行能被解释为坐标系的基向量
• 向量乘以一个矩阵，将从原坐标系变换到新坐标系
• 从原坐标系到这些基向量定义的新坐标系的变换是一种线性变换。线性变换保持直线和平行线，但角度、长度、面积或体积可能会被改变。

转置矩阵

转置矩阵即为沿对角线翻转的矩阵：
![][13]
[13]:http://latex.codecogs.com/png.latex?{\begin{bmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{bmatrix}}^T=\begin{bmatrix}1&4&7\2&5&8\3&6&9\end{bmatrix}
对于向量，行向量变为列向量为：
![][14]
[14]:http://latex.codecogs.com/png.latex?{\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}}^T=\begin{bmatrix}1\2\3\end{bmatrix}
转置矩阵的性质：
![][21]
[21]:http://latex.codecogs.com/png.latex?(M^T)T=M,(AB)^T=BTA^T

逆矩阵

不是每个矩阵都会有逆矩阵，首先的前提条件是，该矩阵是方阵。
逆矩阵的性质：矩阵M和其逆矩阵相乘，其结果是单位矩阵。
![][20]
[20]:http://latex.codecogs.com/png.latex?MM^{-1}=M{-1}M=I
如果一个矩阵有逆矩阵，那我们就说这个矩阵是可逆的。简单判断一个矩阵是否可逆的方法是，求这个矩阵的行列式，如果结果不为0，则这个矩阵是可逆的。（行列式的求解以及怎么求取逆矩阵，过程相对比较复杂，大家可以查阅其他资料）

逆矩阵的性质：
![][22]
[22]:http://latex.codecogs.com/png.latex?(M^{-1}){-1}=M,(M^T){-1}=(M^{-1})T,(AB)^{-1}=B{-1}A^{-1}
在三维变换中，我们经常需要通过逆矩阵来求解反向的变换

正交矩阵

正交矩阵是其与其转置矩阵的乘积是单位矩阵的矩阵，即：
![][23]
[23]:http://latex.codecogs.com/png.latex?MM^T=MTM=I
大家可以对比逆矩阵的性质
![][24]
[24]:http://latex.codecogs.com/png.latex?MM^{-1}=M{-1}M=I
我们可以得出一个很有用的信息：
如果一个矩阵是正交矩阵，我们可以通过求转置的方式求出其逆矩阵，这将可以大大较少运算量
正如名字一样，这种矩阵的3个基向量分别是正交关系，即相互垂直，由于
![][25]
[25]:http://latex.codecogs.com/png.latex?MM^T=\begin{bmatrix}-&c_1&-\-&c_2&-\-&c_3&-\end{bmatrix}\begin{bmatrix}|&|&|\c_1&c_2&c_3\|&|&|\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_1c_1&c_1c_2&c_1c_3\c_2c_1&c_2c_2&c_2c_3\c_3c_1&c_3c_2&c_3c_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1\end{bmatrix}
可以看出矩阵的每一行c1，c2，c3必须为单位矢量，只有这样点乘的结果才能是1。
也就是说，我们有很简单的方式来知道一个矩阵是否为正交矩阵，即
c1，c2，c3均为单位矢量并且相互垂直

边忙边写写了好几天，终于写好了。。。数学真是一门神奇的学科。