堆 处理海量数据的topK，分位数非常合适，优先队列应用在元素优先级排序。比如数组的频率排序非常合适。与基于比较的排序算法 时间复杂度O(nlogn) 相比, 使用堆，优先队列复杂度可以下降到 O(nlogk),在总体数据规模 n 较大，而维护规模 k 较小时，时间复杂度优化明显。
堆，优先队列的本质其实就是个完全二叉树，有其下重要性质：
1、父节点index为 (i-1) // 2
2、左子节点index为 2*i + 1
3、右子节点index为 2*i + 2
4、大顶堆中每个父节点大于子节点，小顶堆每个父节点小于子节点
5、优先队列以优先级为堆的排序依据
因为性质1，2，3，堆可以用数组直接来表示，不需要通过链表建树。
堆，优先队列 有两个重要操作，时间复杂度均是 O(logk)。以大顶锥为例：
1、上浮sift up: 向堆新加入一个元素，堆规模+1，依次向上与父节点比较，如大于父节点就交换。
2、下沉sift down: 从堆取出一个元素（堆规模-1，用于堆排序）或者更新堆中一个元素（本题），逆序遍历数组index从 (k-1) // 2 到 index为 0，向下走保证父节点大于子节点。
对于topk 问题：最大堆求topk小，最小堆求topk大。
topk小：构建一个k个数的最大堆，当读取的数小于根节点时，替换根节点，重新塑造最大堆
topk大：构建一个k个数的最小堆，当读取的数大于根节点时，替换根节点，重新塑造最小堆
这一题的总体思路 总体时间复杂度 O(nlogk)
～建立字典遍历一次统计出现频率. O(logn)
～取前k个数，构造规模为k的最小堆 minheap. O(logn)
～遍历规模k之外的数据，大于堆顶则入堆，维护规模为k的最小堆 minheap. O(nlogk)
～(如需按频率输出，对规模为k的堆进行排序)
class Solution:
def topKFrequent(self, nums: List[int], k: int) -> List[int]:
# hashmap 统计频率
freq_count = {}
for num in nums:
if num in freq_count:
freq_count[num] += 1
else:
freq_count[num] = 1
def sift_up(arr, k):
""" 时间复杂度 O(logk) k 为堆的规模"""
new_index, new_val = k-1, arr[k-1]
while (new_index > 0 and arr[(new_index-1)//2][1] > new_val[1]):
arr[new_index] = arr[(new_index-1)//2]
new_index = (new_index-1)//2
arr[new_index] = new_val # 这里采用的是类似插入排序的赋值交换
def sift_down(arr, root, k):
""" O(logk). 右节点index 2*root+1，左节点 2*root+1, 父节点 (child-1)//2"""
root_val = arr[root]
while (2*root+1 < k):
# 右节点 2*root+1，左节点 2*root+1, 父节点 (child-1)//2
child = 2 * root + 1
if child+1 < k and arr[child][1] > arr[child+1][1]:
child += 1 # 左右节点中最大的对应index
# 小顶锥 用 >，大顶锥 用 <
if root_val[1] > arr[child][1]:
arr[root] = arr[child]
root = child # 继续向下检查
else: break # 如果到这里没乱序，不用再检查后续子节点
arr[root] = root_val
# 注意构造规模为k的堆, 时间复杂度O(n)，因为堆的规模是从0开始增长的
freq_list = list(freq_count.items())
min_heap = []
for i in range(k):
min_heap.append(freq_list[i])
sift_up(min_heap, i+1)
# 遍历剩下元素，大于堆顶入堆，下沉维护小顶堆
for item in freq_list[k:]:
priority = item[1]
if priority > min_heap[0][1]:
min_heap[0] = item
sift_down(min_heap, 0, k)
return [item[0] for item in min_heap]
再附上堆排序，其实就是
1、下沉（堆规模不变），构造大顶锥
2、下沉（堆规模-1），依次把最大值放到尾部，不再维护。
def heapSort(arr):
def sift_down(arr, root, k):
root_val = arr[root] # 用插入排序的赋值交换
# 确保交换后，对后续子节点无影响
while (2*root+1 < k):
# 构造根节点与左右子节点
child = 2 * root + 1 # left = 2 * i + 1, right = 2 * i + 2
if child+1 < k and arr[child] < arr[child+1]: # 如果右子节点在范围内且大于左节点
child += 1
if root_val < arr[child]:
arr[root] = arr[child]
root = child
else: break # 如果有序，后续子节点就不用再检查了
arr[root] = root_val
k = len(arr) # k 为heap的规模
# 构造 maxheap. 从倒数第二层起，该元素下沉
for i in range((k-1)//2, -1, -1):
sift_down(arr, i, k)
# 从尾部起，依次与顶点交换并再构造 maxheap，heap规模-1
for i in range(k - 1, 0, -1):
arr[i], arr[0] = arr[0], arr[i] # 交换
sift_down(arr, 0, i)
