【此为未整理笔记】
当你看到一对描述向量的数时，比如(3, -2)，可以把每个坐标看作一个标量。
在xy坐标系中有两个特别的向量。分别一个是指向正右方，长度为1，通常被称为i帽或者x方向的单位向量。另一个是指向正上方长度为1，通常被称为j帽或者y方向的单位向量。
现在将向量(3, -2)的x向量3当作一个标量，由i帽拉伸为原来的3倍得到；y坐标-2也是一个标量，由j帽反向拉伸为原来的两倍得到。
从这个角度去看，向量(3, -2)其实是两个经过缩放的向量的和。被缩放的两个向量i帽和j帽合起来称作向量的基。
也就是说，当你把坐标看作标量时，基向量实际上就是这些标量所缩放的对象。
在我们选择不同的基向量时，也能获得一个完全合理的坐标系，可以得到所有的二维向量。
当我们用数字描述向量时，它都依赖于我们正在使用的基。
两个向量标量乘法之和的结果被称为这两个向量的线性组合。
如果固定其中一个标量，让另一个标量自由变化，所产生的向量的终点会描出一条直线。
如果让两个标量同时自由变化，在大多数情况下，能够达到平面中的每一个点、所有二维向量。
但在两个初始向量恰好共线时，所产生的向量的终点刚好被限制在一条过原点的直线上。
所有可以表示为给定向量线性组合的向量集合被称为给定向量张成的空间(span)。
用行话来说，对于大部分二维向量，他们张成的空间是所有二维向量的集合，但当共线时，它们张成但空间就是终点落在一条直线上的向量的集合。
当你考虑一些向量时，就把它们看作一些点，
三维空间的张成空间
在三维空间中取两个指向不同方向的向量，它们张成的空间是一个过原点的平面。
更确切地说，所有终点落在这个平面上的向量的集合是这两个向量张成的空间。
三个向量线性组合的定义跟之前的方法基本一致：选择三个标量，对三个向量分别进行缩放，然后把结果相加。
而这三个向量所有可能的线性组合构成了它们张成的空间。
在这里有这样一种情况，当第三个向量恰好落在前两个向量所张成当平面上，则它们张成的空间并不改变，仍然是同样的平面。换句话说，引入第三个向量到线性组合并没有让你的张成空间变大。
当第三个向量不在前两个向量所张成当平面上，这时，因为第三个向量在不同的方向，我们就能得到所有的三维向量。这时，当你缩放第三个向量时，它将前两个向量所张成的平面，沿它的方向来回移动，从而扫过整个三维空间：
至于第三个向量已经落在前两个向量张成的空间中，或者两个向量刚好共线的情况，我们有一些术语来描述它们：即一组向量中至少有一个向量是多余的，没有对张成空间作出任何贡献。
你有多个向量，并且可以移除其中一个而不减小张成的空间，当这种情况发生时，相关术语称它们是“线性相关”的。
另一种表述方法是，其中一个向量可以表示为其他向量的线性组合，因为这个向量已经落在其他向量张成的空间之中。
另一方面，如果所有向量都给张成的空间增添了新的维度，它们就被称为是“线性无关”的。
空间的一个基的严格定义是：张成该空间的一个线性无关向量的集合，
