李宏毅机器学习——回归

回归定义

Regression 就是找到一个函数 $Function$ ，通过输入特征 $x$ ，输出一个数值 $Scalar$ 。

模型步骤

Step 1: 模型假设
Step 2: 模型评估
Step 3: 模型优化

Step 1：模型假设

线性模型 Linear Model:

$y = b + w \cdot x_{i}$

Step 2: 模型评估

损失函数 Loss Function:

以线性模型为例：
$L(f)=\sum_{i=1}^{n}{(y_i - f(x_i))}^2$
$L(w,b)=\sum_{i=1}^{n}({y_i - (b + w \cdot x_i)})^2$

Step 3: 模型优化

找到使得损失函数最小的 $f^*$

$f^*=arg \min _f L(f)$

最小二乘法: 计算可能极为复杂
Example
$\left\{ \begin{array}{lr} \dfrac{\partial L}{\partial b} = 0 , \\ & \\ \dfrac{\partial L}{\partial w} = 0 & \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{lr} 2 \sum_{i=1}^{n}{(y_i-(b+w x_i))} = 0, \\ & \\ 2 \sum_{i=1}^{n}{(y_i-(b+w x_i))x_i} = 0 \end{array} \right.$

化简, 得
$\left\{ \begin{array}{lr} nb + w\sum_{i=1}^{n}x_i=\sum_{i=1}^{n}{y_i}, \\ & \\ b\sum_{i=1}^{n}x_i + w\sum_{i=1}^{n}{x_i^2}=\sum_{i=1}^{n}{y_i} \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{lr} b + w \bar x = \bar y, \\ & \\ b\bar x + w \bar{x^2} = \bar{xy} \end{array} \right.$

梯度下降

Example 1: $w^* = arg \min _{w} L(w)$
1. 随机选取一个初始点 $w^0$
2. 计算微分 , 判断移动方向
  
  其中为学习率
  - 大于0向右移动 (增加 $w$ )
  - 小于0向左移动 (减少 $w$ )
3. 计算微分 $\frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} w} |_{w =w^2}$ , 继续更新 $w$
4. ....
5. 直至找到最低点
Example 2: $w^*, b^* = arg \min _{w, b} L(w, b)$
1. 随机选取 $w^0, b^0$
2. 计算偏微分 $\frac{\partial L}{\partial w} |_{w =w^0, b=b^0}$ , $\frac{\partial L}{\partial b} |_{w =w^0, b=b^0}$ , 根据学习率更新 $w, b$
3. ....
4. 直至找到最低点

Gradient Decent

梯度下降面临的挑战

Gradient Decent Challenges

更复杂的模型

N次线性模型

过拟合问题

优化：

融合不同参数的线性模型
加入更多特征
在损失函数中加入正则化项

实验

回归实验

参考资料

李宏毅机器学习笔记

李宏毅机器学习视频课

最后编辑于：2022.05.17 11:00:02

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