提到量子，多数读者的感觉可能是既熟悉又陌生。熟悉是因为它的有趣和不可思议，和相对论一起，经常成为科普人津津乐道的主题，尤其是我国2016年的墨子号卫星成功实现千公里级量子通信后，国内乃至世界范围更是掀起了一股量子热潮。而陌生，是因为这套理论和我们的常识格格不入，它仿佛来自另一个世界，用匪夷所思的现象挑战着人脑的极限，何况，非专业的我们往往只能定性地了解，无法像物理学家那样定量推演，究其根本。

其实，即使是物理学家，也仍未摸透量子世界的本质。不过，这并不影响我们先把它利用起来，就像电子被发现之前，人们早已开始享受电的便利了。

神奇的量子

首先，了解一下什么是量子。人们由于望文生义，会有一种普遍的误解，认为量子是某种微观粒子，其实它是表示物理量不可再分的最小单位，也许改叫“量元”或“基量”之类的名字更有助于准确理解吧。

量子最早由德国物理学家马克斯·普朗克（Max Planck）在1900年解释黑体辐射时提出，他大胆假设，就像物质是由一个个原子组成的一样，能量也由一种最基本的能量子（即量子）组成。也就是说，能量不是连续的，是一份一份的。在我们走路时，跨出一步的距离可以是60厘米，也可以是59厘米，或者59.9厘米，乃至59.999999厘米，只要有把控手段，任意厘米都可以，因此步长是连续的；而当我们遇到楼梯，却必须一个台阶、一个台阶地走，没有办法走半个或三分之一个台阶，如果把整个楼梯看做能量，那么台阶就是组成它的量子。

1905年，爱因斯坦指出，光也是由一个个不可再分的光量子（即光子）组成的。科学家们意识到，量子化是微观世界的普遍现象。

而量子的发现，远不止将我们心目中连续的世界打成离散那么简单，它还提示我们，世界是概率的，是不确定的。比如电子和光子的波粒二象性，在有些情况下它们是波，在有些情况下它们又是粒子，而这两种身份都是人类观察的结果，在观察前，它们既是波，又是粒子，处于两者的叠加态。导致量子从叠加态坍缩至确定态的观察过程称为测量。

量子叠加也是普遍现象，我们可以借助著名的思想实验“薛定谔的猫”去理解它。把一只猫和一瓶致命的毒气一起关在一个封闭的盒子里，一个由原子衰变控制的机关可以将毒气瓶打碎。由于原子处于既衰变又没衰变的叠加态，因此毒气瓶也处于既破碎又完好的叠加态，此时，我们得到了一只即死又活的猫。而世界好像有意想隐藏这种真相，当我们打开盒子（进行测量），总会以一定的概率看到死猫或活猫。

薛定谔的思想实验

量子计算

我们永远无法亲眼目睹神奇的量子叠加，只能尽量去想象这种状态。不过这并不影响我们发挥它的价值，量子系统的两种状态本身就可以用来表示二进制信息，而它们叠加之后更是出现了非凡的效果。在传统二进制计算机中，一个比特位（bit）可以表示0或者1，而处于叠加态的量子比特（qubit/qbit）却可以同时表示0和1，而一旦被测量，它就会以一定的概率坍缩为0或1。如果用英国物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）在1939年提出的狄拉克符号表示，量子比特就写作 $|ψ\rangle = α|0\rangle + β|1\rangle$ ， $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 表示量子比特的两种测量值， $α$ 和 $β$ 是复数，其模满足 $|α|^2+|β|^2=1$ ，测量该量子比特得到 $|0\rangle$ 的概率是 $|α|^2$ ，得到 $|0\rangle$ 的概率是 $|β|^2$ 。

不论多少位的传统比特，都只能用于表示1个二进制数，比如4个比特可以表示0000～1111中的某一个。而量子比特就不同了，4个量子比特可以同时表示0000～1111，共16个数，10个量子比特可以表示1024个数，n个量子比特可以表示2ⁿ个数。这种指数级的增长有着极其恐怖的威力，比如，仅当我们拥有266个量子比特时，就可以为可观测宇宙中的所有原子一一编号，而这在传统计算机中需要333万亿亿亿亿亿亿亿TB的容量！

在运算时，量子也同样拥有着碾压性的优势。比如2个4比特二进制数的相加只能得到一个结果，而2个4量子比特数的相加却可以得到256个结果，即同时完成了如下256项运算：

看起来很厉害的样子，不过你可能会质疑：我们需要的总是特定数之间的运算，这样把所有可能的取值都算一遍有什么用处呢？试着回忆一下小时候偷试大人手机密码的经历吧，如果你的手指也具有叠加态，不就可以一次性把所有可能的密码都试一遍了吗？

当今世界，许多信息系统的安全性建立在一种叫RSA^[1]的加密算法之上。要想破解RSA，就需要对其公钥进行因数分解，当公钥的数值足够大且只包含2个为质数的因数（质因数），破解就变得非常困难。比如15的因数是3和5，人为一眼就能看出来，但2301408713的因数分解就不得不依靠计算机了，通过编程，可以从2开始到公钥的平方根一个个地试，最终得到47969和47977，这点运算量难不倒现在的电子计算机。可当公钥是一个300位的十进制数，就算从宇宙大爆炸开始试，也试不出来。即使用上已知最快的因数分解算法——数域筛算法，也需要千万年，乃至上亿年时间。因此，除非有更有效的算法问世，否则1024位（二进制）的公钥就能保证RSA的绝对安全，实在不放心，升到2048或4096位，足以让黑客彻底死心。

然而，一旦有了量子计算机，RSA将变得不堪一击，因为只需要一次运算就可以将所有数都试一遍。难怪科学家们把量子计算机的实现形容为“量子霸权”。

不过你可能还是会质疑：量子计算只是同时给出了所有可能的结果，却没有指明哪个才是正确的。比如用512个量子比特去试除1024位的RSA公钥，如果只有2个质因数，测量到正确结果的可能性就只有2/2⁵¹²。

刘慈欣的短篇科幻小说《诗云》中，高度发达的外星文明出于对中国诗词的热爱，将整个太阳系改造成诗云，用于存储所有汉字所有诗词形式的排列组合，其中一定有一首超越人类诗词艺术巅峰的千古绝唱，但问题是，找不到它。

量子计算拥有绝对的并行能力，却面临着诗云式的困境。与其期望量子比特在测量时正好坍缩为正确结果，还不如去买张彩票。因此，光有量子比特是没用的，还需要精心设计的量子算法，以将测量到正确结果的可能性提高到最大，哪怕只有10%也足够了，因为结果的正确性很容易验证，在100次计算和测量中，将有10次左右可以验证到正确结果。美国数学家彼得·秀尔（Peter Shor）在1994年提出的秀尔算法就是一种有效的因数分解量子算法，分解一个只有2个质因数的公钥，给出正确测量的概率在75%以上。2001年，IBM成功在7量子比特的量子计算机上用秀尔算法实现了15的因数分解，验证了量子算法的可行性。

除了因数分解，量子计算还将在信息检索上大显神通。比如给银河系中的所有恒星都起一个独一无二的名字，打乱之后存到一张表中，如果要从中找到“太阳”，传统计算机只能从第一个名字开始一一查看，如果运气好，可能第一个就是“太阳”，运气不好，可能最后一个才是“太阳”。而量子计算机就不同了，它可以同时查看所有名字，一眼就把“太阳”给揪出来。1996年，美国计算机学家洛弗•格罗弗（Lov Grover）就提出了这样一种量子搜索算法，不断迭代之后测量到正确结果的概率可以无限接近于1。

所以说，量子计算的价值不在于完全代替现有的计算机，而是对一些需要巨大计算量的问题进行“降维打击”。

量子逻辑门

我们已经知道，传统二进制计算机的运算和控制靠的是与、或、非等逻辑门，同样的，量子计算也有相应的量子逻辑门，它们是实现量子算法的砖瓦。下面简单介绍一些基本的量子逻辑门，让我们一起直观感受一下量子运算的过程。

由于叠加态的量子比特相当于一个向量，因此量子逻辑门也往往写成矩阵的形式，量子比特的逻辑运算涉及矩阵运算的知识，此处将省略这一过程，仅使用狄拉克表达式说明量子逻辑门的作用，有兴趣的读者可自行验证。

首先上场的是单量子比特门，只作用于单个量子比特，最基本的有Pauli-X门、Pauli-Y门和Pauli-Z门，简称X门、Y门和Z门：

$X= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} Y= \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} Z= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

另一个比较典型的单量子比特门是Hadamard门，简称H门：

$Z= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

它使两种量子态被测量到的概率相等， $|0\rangle$ 变换为 $\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}$ 、 $|1\rangle$ 变换为 $\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}$ ， $α|0\rangle + β|1\rangle$ 在H门的作用下就成了 $\frac{α+β}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{α-β}{\sqrt{2}}|1\rangle$ 。

下面上场的是双量子比特门，可使2个量子比特相互产生影响。最基本的是受控非门（controlled NOT gate），简称CNOT门：

$CNOT= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

此外，还有三量子比特、四量子比特等多量子比特门，但它们都可由单量子比特门和CNOT门组合而成。

物理实现

正所谓条条大路通罗马，微观上具有量子效应的物质都能用于实现量子计算，目前常见的材料包括电子、原子核、离子、量子点、光子等，它们的许多属性（比如自旋态）具有两种状态，操控这些属性需要用到各种高精尖技术，比如超导、核磁共振、离子阱、谐振腔等。本节选取我们比较熟悉的光子管窥一二。

还记得光的偏振吗？就让我们用光子的偏振态来表示量子比特吧，在量子效应下，光子的偏振同时发生在水平方向和垂直方向，光子比特的狄拉克表达式可以写作 $α|H\rangle+β|V\rangle$ 。

使用移相器、分束器、波片等光学元件可以改变光子的叠加态，即实现光子比特的逻辑运算。以波片为例，这是一种对水平偏振光和垂直偏振光具有不同折射率的介质。当光子进入波片，两个偏振方向上的“分身”将具有不同的传播速度，通过调整波片的厚度，可以让两者穿出波片后出现二分之一波长的光程差，这就是所谓的半波片。上一篇“以光控光”的例子中，泵浦光就是将克尔介质改造成了半波片，并且我们已经知道，半波片会使光的偏振方向发生90°的旋转。调整半波片的放置角度，就能将这种旋光效果作用到光子的 $|H\rangle$ 和 $|V\rangle$ 上，记光轴^[2]与水平面（ $|H\rangle$ 方向）的夹角为 $θ$ ，通过几何运算可以得到如下作用矩阵：

$\begin{bmatrix} cos2θ & sin2θ \\ sin2θ & -cos2θ \end{bmatrix}$

当 $θ$ 为45°，它就是X门；当 $θ$ 为0°，它就是Z门；当 $θ$ 为22.5°，它就是H门。简单吧！但这只是纸上谈兵而已，真正实现起来却问题多多，比如光子一不小心被介质吸收怎么办，又比如如何让两个本来没有相互作用的光子进行双比特逻辑运算。

参考文献

袁岚峰. 你完全可以理解量子信息[EB/OL].
Shor P. Algorithms for Quantum Computation: Discrete Logarithms and Factoring[C]. Proceedings of 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Scienece, 1994.
Nielsen M A, Chuang I L. 量子计算和量子信息[M]. 赵千川, 译. 北京: 清华大学出版社, 2004.
Wikipedia. Quantum logic gate[EB/OL].
Wikipedia. Quantum computing[EB/OL].
王奕. 线性光学系统中的量子态制备和量子密集编码[D]. 安徽大学, 2012.

RSA是其3位发明者Ron Rivest、Adi Shamir和Leonard Adleman名字的首字母缩写。 ↩
当一束线偏振光进入波片时不发生双折射，其偏振方向就是波片的光轴。 ↩

揭开量子计算的神秘面纱