证明在包含开锥的补集的连通开集内，满足给定条件的函数非正

假设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^d$ 中连通的开集使得其补集 $\mathbb{R}^d\setminus\Omega$ 包含一个开的锥 $C$ 。假设 $u:\overline{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}$ 是有界的连续函数，在 $\Omega$ 中是 $C^{2}$ 的，并且满足

$\begin{cases}\Delta u(x)\geq0 & ,x\in\Omega,\\u(x)\leq0 & ,x\in\partial\Omega.\end{cases}$

证明

$u(x)\leq0,\quad\forall x\in\Omega.$

这里开的锥 $C$ 指的是存在顶点 $x_0$ ，非零方向 $v\in\mathbb{R}^d$ 以及 $\theta\in(0,\frac{\pi}{2})$ 使得

$C=\{x:|x-x_0| |v|\cos\theta< v\cdot(x-x_0)\}$ 。

证：

1.假设与条件:

$\Omega$ 是 $\mathbb{R}^d$ 中的一个连通开集，其补集 $\mathbb{R}^d \setminus\Omega$ 包含一个开锥 $C$ 。
函数 $u: \overline{\Omega} \rightarrow \mathbb{R}$ 是有界的连续函数，并且在 $\Omega$ 中是 $C^2$ 的，满足

$\begin{cases} \Delta u(x) \geq 0 & , \quad x \in \Omega, \\ u(x) \leq 0 &, \quad x \in \partial \Omega \end{cases}$ 。

2.目标:证明 $u(x) \leq 0$ 对所有 $x\in \Omega$ 成立。

3.利用最大值原理:

根据已知条件， $u$ 是有界连续函数，因此在 $\overline{\Omega}$ 上可以取得最大值。设 $u$ 在 $\overline{\Omega}$ 上的最大值为 $M$ ，即存在 $x_0 \in \overline{\Omega}$ 使得 $u(x_0)= M$ 。
根据条件， $u(x)\leq 0$ 对所有 $x \in \partial \Omega$ 成立，因此， $M \leq 0$ 。
假设 $M>O$ ,我们将导出矛盾。注意到 $x_0$ 不能位于 $\partial \Omega$ ，因为在 $\partial\Omega$ 上 $u(x) \leq0$ 。因此， $x_0$ 必须在 $\Omega$ 的内部，即 $x_0\in \Omega$ 。

4.利用次调和函数性质:

由于 $\Delta u(x) \geq 0$ ， $u$ 是次调和函数。根据次调和函数的性质，如果 $u$ 在 $\Omega$ 内部的某点 $x_0$ 取到局部最大值，则 $u$ 在 $x_0$ 附近是一个常数。
因此， $u$ 在包含 $x_0$ 的某个邻域 $B(x_0,r)\subset \Omega$ 上是常数，即 $u(x)=M$ 对所有 $x \in B(x_0,r)$ 成立。

5.利用开锥的性质:

由于 $\mathbb{R}^d \setminus \Omega$ 包含一个开锥 $C$ ，对于锥 $C$ 中的每一个点 $x_1\in C \cap \Omega$ ，存在一条从 $x_1$ 到 $\partial \Omega$ 的路径，这条路径上的点 $x$ 都满足 $u(x) \leq 0$ 。
因为 $u$ 在 $\Omega$ 内的某个邻域 $B(x_0,r)$ 上是常数 $M>0$ ，所以必须存在点 $x_1\in B(x_0, r) \cap (\Omega \cap C)$ 使得 $u(x_1)=M$ 。然而，这与 $u(x) \leq 0$ 对所有 $x \in \partial\Omega$ 成立矛盾，因为 $x_1$ 的路径会穿过 $\partial\Omega$ ，并且在路径上的某些点 $u$ 会小于 $0$ 。

6.矛盾:

从而，假设 $M>0$ 不成立，即 $M \leq 0$ 。这意味着 $u(x) \leq 0$ 对所有 $x \in \Omega$ 成立。

综上，我们证明了 $u(x) \leq 0$ 对所有 $x \in \Omega$ 成立。

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