由于之前三篇文章过于强调定义，学术性过强，因此从该篇文章开始，文章主要强调「理解」的内容，并且会试图增强文章的可读性，让读者能够在简单阅览本文之后依旧有所收获与启发。
本系列文章的主要内容依旧来源于我的学习笔记，因此，本文也主要是为了让我能够加强对知识点的理解。
如何理解复数，如何接受它
复变函数的基础在于复数的定义。首先我们需要理解、接受复数的存在，但这一点并不容易。自然数、整数是来源于人类对现实世界的理解，其具有对应的参照物，所以被人们广泛接受。实数、无理数蕴含在了很多理想几何图形之中，例如勾股定理中构成的三边，又例如由增长率模型发现的
，从圆中发现的
。但是虚数我们很难在现实世界找到对应的模型。但是，如果我们回想自然数、整数、实数的定义，我们发现这些「数」都是基于人类的概念而产生的。负数存在于现实世界吗？我们不知道。但是我们能够确定，负数一定是基于人类对“亏损”或者“欠债”的概念而诞生的。因此，数学本质上是一门「形式学科」，是基于人类的概念、共识而诞生的。既然如此，如果我们对复数的创造符合人类的逻辑，那么这个概念、或者说「数」就是合理的，正确的。
简单归纳复数的基本性质
根据任何一本教科书都可以归纳出以下内容：
- 复数的形式定义为
，其中
定义为虚数单位。复数可以表示在复平面上，即由实轴与虚轴构成的坐标系。这被人们认为是数域的扩充。
- 复数的另一种表示形式，即三角表示形式
，同样可以用极坐标表示。r代表模长、a代表辐角。
- 定义了复数的运算，即加法、乘法。这里的定义是基于复数的普通形式的，加法即实部虚部相加，而乘法较为复杂。（其实是先发现乘法，再通过比较生硬的定义确定下来的，这是为了保证学科体系的严谨）基于此可以定义复数的减法、除法。并可以衍生出更多的基本运算。如下所示：
- 加法、减法：实部、虚部相加减。直角坐标上可以看作向量加减。
- 乘法、除法：定义形式复杂。极坐标上可以认为是辐角相加减，模长相乘除。
-
取模长运算
：顾名思义，取模长。
-
取辐角运算
: 取辐角，结果一般相差
。
-
取辐角主值
: 取辐角，但是结果限定于
到
之间。
-
取共轭
：实部不变，虚部取相反数。模长不变，辐角主值取反。
-
幂
: 定义为
个
相乘。
-
方根
: 定义略。其值必然有n个，模长相同并且都为
，在极坐标上的位置是n个相互平分的。（不好描述，请自行翻阅课本插图）
- 根据以上运算定义可以归纳出一些性质：
- 复数满足交换率、分配律。
-
，同理
-
，同理
- 共轭运算满足加减乘除的分配律，例如
- 关于共轭的重要性质(1)：
,
，或者
,
- 关于共轭的重要性质(2)：
- 共轭的模长：
, 共轭的辐角：
这些性质可以辅助我们进行复数的相关运算、推导。
从复数到复变函数
根据之前对复数的定义，我们可以发现——对复数的研究都是根据「数系的扩张」这一主线为中心的。什么是「数系的扩张」，如果我们仔细观察复数的定义，会发现如果令虚部恒为0，那么复数的所有性质都会退化为实数集的性质。也就是说，这种扩张一定是根据原有数系的逻辑而扩张的，需要与原有概念相适配。
因此，我们现在一切的工作都是根据原有实数（或者实变函数）的逻辑脉络进行讨论。
即，复变函数的引入势在必行。
首先在引入复变函数之前，先定义几个预备概念。
- 定义「去心领域」：以
为中心，
为半径的圆周内部所有点。记为
- 定义「区域」：一种不包含边界的复数点集。具体形式化定义请翻阅教科书。
- 定义「闭区域」：闭区域 = 区域 + 区域边界。具体形式化定义请翻阅教科书。
- 定义「单连通区域」：如果在区域
中任意做一条简单闭曲线，如果其内容都属于
接下来，现在我们引入复变函数的定义：
定义「复变函数」：我们称由复数集到复数集
的映射
为「复变函数」。注意，复变函数可以为单值，也可以为多值。但一般我们讨论的都为单值函数。复变函数确定了两个复平面内点集的映射。
如果，且
,
，那么复变函数
显然等价于两个实变函数
。与此类似，复数的极坐标形式也可以等价于两个实变函数。
之后，根据实变函数的脉络，我们继续定义复变函数的极限。
定义「复变函数的极限」：如果对于任何一个，必然能够找到一个
,并且使得所有在
的
邻域中的点，其对应的点
都在
的邻域内。那么就称该函数在
处的极限为
。
关于极限的定义，首先要求该函数在处的去心邻域中有定义。为什么？因为边界的极限没有意义。或者我们也可以给边界，点列等定义一种极限，以更好地与实变函数的概念相衔接。
既然要求去心邻域中也有定义，那么一个显然的事实就是，如果该函数的定义集合中的沿着不同的方向、或者按照不同的点列趋近
，那么必然要求所得的极限都能够相等（注意，这里所说的极限与上面的定义有细小差别，即，方向已经确定了，讨论的
点只需要满足在该方向或者曲线中即可），这一点可以用来证明极限不存在。
另外一个显然的结论是，复变函数的极限与以下极限等价：
因此，复变函数的极限也满足四则运算法则的性质。
函数连续性的定义
与实变函数类似，如果一个函数的极限等于该函数在该点的值，那么就函数在该点连续。
类似的，复变函数的连续与的连续等价。并且，两个连续函数的加减乘除仍然是连续函数，两个连续函数的复合依旧连续。
复变函数的可微性、导数
形式依旧与实变函数类似，称之为该函数在z处的导数。
关于复变函数可导性的判定条件，有著名的C-R条件：
如果函数定义在z的某邻域内，而且都是可微的，那么该函数可导的充分必要条件是
这被称之为柯西黎曼条件。充分性证明略，必要性证明可自证。
根据该定理的必要性证明，即如果已知该函数可导，则容易根据导数定义知道
同时，对于实变函数成立的导数运算性质，容易证明对于复变函数也成立。
例如
最后说明一下反函数问题。对于单叶函数（即一一映射，对于不同的原像不存在相同的像）的反函数
，必然存在
该结论与经典实变函数的结论是相同的，读者可以自行证明。
最后引入「解析函数」的概念，解析函数即在一个区域中每个点处都可微的函数。
下一次更新：复变函数的积分，以及部分初等函数性质的探讨。+
