2021-09-24 复变函数学习笔记（1）

由于之前三篇文章过于强调定义，学术性过强，因此从该篇文章开始，文章主要强调「理解」的内容，并且会试图增强文章的可读性，让读者能够在简单阅览本文之后依旧有所收获与启发。

本系列文章的主要内容依旧来源于我的学习笔记，因此，本文也主要是为了让我能够加强对知识点的理解。

如何理解复数，如何接受它

复变函数的基础在于复数的定义。首先我们需要理解、接受复数的存在，但这一点并不容易。自然数、整数是来源于人类对现实世界的理解，其具有对应的参照物，所以被人们广泛接受。实数、无理数蕴含在了很多理想几何图形之中，例如勾股定理中 $1, 1\sqrt 2$ 构成的三边，又例如由增长率模型发现的 $e$ ，从圆中发现的 $\pi$ 。但是虚数我们很难在现实世界找到对应的模型。但是，如果我们回想自然数、整数、实数的定义，我们发现这些「数」都是基于人类的概念而产生的。负数存在于现实世界吗？我们不知道。但是我们能够确定，负数一定是基于人类对“亏损”或者“欠债”的概念而诞生的。因此，数学本质上是一门「形式学科」，是基于人类的概念、共识而诞生的。既然如此，如果我们对复数的创造符合人类的逻辑，那么这个概念、或者说「数」就是合理的，正确的。

简单归纳复数的基本性质

根据任何一本教科书都可以归纳出以下内容：

复数的形式定义为 $z = x + iy$ ，其中 $i$ 定义为虚数单位。复数可以表示在复平面上，即由实轴与虚轴构成的坐标系。这被人们认为是数域的扩充。
复数的另一种表示形式，即三角表示形式 $z = r({\rm cos}(a) + i{\rm sin}(a))$ ，同样可以用极坐标表示。r代表模长、a代表辐角。
定义了复数的运算，即加法、乘法。这里的定义是基于复数的普通形式的，加法即实部虚部相加，而乘法较为复杂。（其实是先发现乘法，再通过比较生硬的定义确定下来的，这是为了保证学科体系的严谨）基于此可以定义复数的减法、除法。并可以衍生出更多的基本运算。如下所示：

加法、减法：实部、虚部相加减。直角坐标上可以看作向量加减。
乘法、除法：定义形式复杂。极坐标上可以认为是辐角相加减，模长相乘除。
取模长运算 $|z|$ ：顾名思义，取模长。
取辐角运算 $Arg(z)$ : 取辐角，结果一般相差 $2\pi$ 。
取辐角主值 $arg(z)$ : 取辐角，但是结果限定于 $-\pi$ 到 $\pi$ 之间。
取共轭 $\overline z$ ：实部不变，虚部取相反数。模长不变，辐角主值取反。
幂 $z^n$ : 定义为 $n$ 个 $z$ 相乘。
方根 $^n\sqrt z$ : 定义略。其值必然有n个，模长相同并且都为 $^n\sqrt r$ ，在极坐标上的位置是n个相互平分的。（不好描述，请自行翻阅课本插图）

根据以上运算定义可以归纳出一些性质：

复数满足交换率、分配律。
$Arg(z_1 z_2) = Arg(z_1) + Arg(z_2)$ ，同理 $Arg(z_1 / z_2) = Arg(z_1) - Arg(z_2)$
$|z_1 z_2| = r_1 r_2 = |z_1||z_2|$ ，同理 $|z_1 / z_2| = r_1 / r_2 = |z_1|/|z_2|$
共轭运算满足加减乘除的分配律，例如 $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$
关于共轭的重要性质(1)： $Re(z) = \frac{z + \overline{z}}{2}$ , $Im(z) = \frac{z - \overline{z}}{2i}$ ，或者 $z + \overline{z} = 2Re(z)$ , $z - \overline{z} = 2i Im(z)$
关于共轭的重要性质(2)： $z \cdot \overline{z} = |z|^2 = (Re z)^2 + (Im z)^2$
共轭的模长： $|\overline{z}| = |z|$ , 共轭的辐角： $arg \overline{z} = - arg z$

这些性质可以辅助我们进行复数的相关运算、推导。

从复数到复变函数

根据之前对复数的定义，我们可以发现——对复数的研究都是根据「数系的扩张」这一主线为中心的。什么是「数系的扩张」，如果我们仔细观察复数的定义，会发现如果令虚部恒为0，那么复数的所有性质都会退化为实数集的性质。也就是说，这种扩张一定是根据原有数系的逻辑而扩张的，需要与原有概念相适配。

因此，我们现在一切的工作都是根据原有实数（或者实变函数）的逻辑脉络进行讨论。
即，复变函数的引入势在必行。

首先在引入复变函数之前，先定义几个预备概念。

定义「去心领域」：以 $z_0$ 为中心， $\delta > 0$ 为半径的圆周内部所有点。记为 $N(z_0, \delta)$
定义「区域」：一种不包含边界的复数点集。具体形式化定义请翻阅教科书。
定义「闭区域」：闭区域 = 区域 + 区域边界。具体形式化定义请翻阅教科书。
定义「单连通区域」：如果在区域 $D$ 中任意做一条简单闭曲线，如果其内容都属于 $D$ ，那么就称该区域 $D$ 为「单连通区域」，反之为「多连通区域」。

接下来，现在我们引入复变函数的定义：
定义「复变函数」：我们称由复数集 $D$ 到复数集 $G$ 的映射 $f: D \to G$ 为「复变函数」。注意，复变函数可以为单值，也可以为多值。但一般我们讨论的都为单值函数。复变函数确定了两个复平面内点集的映射。

如果 $w = f(z)$ ，且 $w = u + iv$ , $z = x + iy$ ，那么复变函数 $w = f(z)$ 显然等价于两个实变函数 $u = u(x, y), v = v(x, y)$ 。与此类似，复数的极坐标形式也可以等价于两个实变函数。

之后，根据实变函数的脉络，我们继续定义复变函数的极限。

定义「复变函数的极限」：如果对于任何一个 $\epsilon > 0$ ，必然能够找到一个 $\delta > 0$ ,并且使得所有在 $z_0$ 的 $\delta$ 邻域中的点，其对应的点 $w$ 都在 $w_0$ 的邻域内。那么就称该函数在 $z_0$ 处的极限为 $w_0$ 。

关于极限的定义，首先要求该函数在 $z_0$ 处的去心邻域中有定义。为什么？因为边界的极限没有意义。或者我们也可以给边界，点列等定义一种极限，以更好地与实变函数的概念相衔接。

既然要求去心邻域中也有定义，那么一个显然的事实就是，如果该函数的定义集合中的 $z$ 沿着不同的方向、或者按照不同的点列趋近 $z_0$ ，那么必然要求所得的极限都能够相等（注意，这里所说的极限与上面的定义有细小差别，即，方向已经确定了，讨论的 $z$ 点只需要满足在该方向或者曲线中即可），这一点可以用来证明极限不存在。

另外一个显然的结论是，复变函数的极限 $\lim_{z \to z_0}f(z) = u_0 + iv_0$ 与以下极限等价：
$\lim_{x \to x_0 \\ y \to y_0} u(x, y) = u_0， \lim_{x \to x_0 \\ y \to y_0}v(x, y) = v_0$

因此，复变函数的极限也满足四则运算法则的性质。

函数连续性的定义

与实变函数类似，如果一个函数的极限等于该函数在该点的值，那么就函数在该点连续。

类似的，复变函数的连续与 $u(x, y), v(x, y)$ 的连续等价。并且，两个连续函数的加减乘除仍然是连续函数，两个连续函数的复合依旧连续。

复变函数的可微性、导数

形式依旧与实变函数类似， $\lim_{h \to 0}\frac{f(z+h) - f(z)}{h} = f^{'}(z)$ 称之为该函数在z处的导数。

关于复变函数可导性的判定条件，有著名的C-R条件：
如果函数定义在z的某邻域内，而且 $u(x, y), v(x, y)$ 都是可微的，那么该函数可导的充分必要条件是
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y} =- \frac{\partial v}{\partial x}$
这被称之为柯西黎曼条件。充分性证明略，必要性证明可自证。
根据该定理的必要性证明，即如果已知该函数可导，则容易根据导数定义知道
$f^{'}(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y} = \cdots$