压缩特征的重建
我们可以利用下式将压缩特征来重建原特征。
其中x(i)approx ≈ x(i)。
选择主成分数量
通常，我们一般在满足下式的情况下选择尽可能小的K值。
其中，上式的分子为投影误差平方和均值（Average Squared Projection Error）；
分母为Total Variation in The Data。
我们也可以用“99% of variance is retained”来描述上式。
我们实现上述方法的算法为：
- 令K = 1；
- 利用PCA算法得到Ureduce , z(1), ···, z(m), x(1)approx ,···, x(m)approx ；
- 检查是否满足下式：
- 如果第3步不满足，则令K = 2, 3，···，继续运行第1~3步，直至满足第3步的不等式。
但这种算法运行效率不高。因此，我们可以在Octave或MATLAB中使用svd()函数，我们可以得到S矩阵：
我们可以使用该矩阵计算：
即：
在使用这个算法时，我们仍然令K = 1, 2, 3, ···, 直至满足上述不等式。
主成分分析算法应用
在监督学习中，对于数据集{(x(1), y(1)), ···, (x(m), y(m))}，其中x(i) ∈ R100000。
我们可提取出无标记的数据集作为输入数据：{x(1), ···, x(m)}，其中x(i) ∈ R100000。利用PCA算法对该数据集进行降维操作得到：{z(1), ···, z(m)}，其中x(i) ∈ R1000。从而我们得到一个新的数据集{(z(1), y(1)), ···, (z(m), y(m))}，其中z(i) ∈ R1000。
通过上述方法，我们可以提高监督学习的运行速度。
注：对于x(i) -> z(i)映射关系，我们只能在训练集上使用PCA算法，但这种映射关系也能应用于交叉验证集和测试集。
对于PCA算法，其可以压缩数据节省存储空间和提高学习算法的运行速度，以及将高维度的数据集降为低维度，从而将数据集可视化。
但对于PCA算法，我们不推荐将其用于防止过拟合问题。虽然PCA算法对于防止过拟合问题可能运行得不错，但我们仍然推荐使用正则化来防止过拟合问题。因为使用PCA算法可能会丢失一些重要的信息。
PCA算法不应该直接用于机器学习系统设计过程中。我们应该考虑原始特征变量，在出现存储空间占用过多或算法运行过慢等情况时，我们才有必要考虑使用PCA算法。
