线性方程组（三）- 向量方程

小结

向量的定义
向量方程的定义和求解
$\boldsymbol{Span\{v\}}$ 与 $\boldsymbol{Span\{u,v\}}$ 的几何解释

$\mathbb{R}^{2}$ 中的向量

仅含一列的矩阵称为&列向量，或简称向量。向量表示一组有序数。
包含两个元素的向量表示为： $\boldsymbol{w} = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \end{bmatrix}$ ，其中 $w_1$ 和 $w_2$ 是任意实数。
所有两个元素的向量的集记为 $\mathbb{R}^{2}$ ， $\mathbb{R}$ 表示向量中的元素是实数，而指数2表示每个向量包含两个元素。
$\mathbb{R}^{2}$ 中两个向量相等当且仅当其对应元素相等。即 $\mathbb{R}^{2}$ 中的向量是实数的有序对。
给定实数 $c$ 和 $\mathbb{R}^{2}$ 中两个向量 $\boldsymbol{u}$ 和 $\boldsymbol{v}$ ，它们的和 $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}$ 是把 $\boldsymbol{u}$ 和 $\boldsymbol{v}$ 对应元素相加所得的向量。 $\boldsymbol{u}$ 和 $c$ 的标量乘法（或数乘）是把 $\boldsymbol{u}$ 的每个元素乘以 $c$ ，所得向量记为 $c\boldsymbol{u}$ 。 $c\boldsymbol{u}$ 中的数 $c$ 称为标量（或数）。

给定 $\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ \end{bmatrix}$ 和 $\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} 2 \\ -5 \\ \end{bmatrix}$ ，求 $4\boldsymbol{u}-3\boldsymbol{v}$
解： $\quad\ \ \ 4\boldsymbol{u} - 3\boldsymbol{v}$
$\begin{equation}\begin{aligned}\qquad &= 4\boldsymbol{u} + (-3)\boldsymbol{v} \\ &= \begin{bmatrix} 4 * 1 \\ 4 * (-2) \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 * 2 \\ -3 * (-5) \\ \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -6 \\ 15 \\ \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix} 4 + (-6) \\ -8 + 15\end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix} -2 \\ 7 \\ \end{bmatrix}\end{aligned}\end{equation}$

$\mathbb{R}^{2}$ 的几何表示

考虑平面上的直角坐标系。因为平面上每个点由实数的有序对确定，所以可把几何点 $(a, b)$ 与列向量 $\left[\begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix}\right]$ 等同。因此我们可把 $\mathbb{R}^{2}$ 看作平面上所有点的集合。
向量 $\left[\begin{matrix} 3 \\ -1 \\ \end{matrix}\right]$ 的几何表示是一条由原点 $(0, 0)$ 指向点 $(3, -1)$ 的有向线段。

向量加法的平行四边形法则
若 $\mathbb{R}^{2}$ 中向量 $\boldsymbol{u}$ 和向量 $\boldsymbol{v}$ 用平面上的点表示，则 $\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}$ 对应于以 $\boldsymbol{u}$ ， $\boldsymbol{0}$ 和 $\boldsymbol{v}$ 为顶点的平行四边形的第4个顶点。

向量加法的平行四边形法则.png

$\mathbb{R}^{n}$ 中的向量

$\mathbb{R}^{3}$ 中向量是 $3 \times 1$ 列矩阵，有3个元素。它们表示三维空间中的点，或起点为原点的箭头。

若 $n$ 是正整数，则 $\mathbb{R}^{n}$ 表示所有 $n$ 个实数数列（或有序 $n$ 元组）的集合，通常写成 $n \times 1$ 列矩阵的形式， $\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \\ \end{bmatrix}$ 。
所有元素都是零的向量称为零向量，用 $\boldsymbol{0}$ 表示。

$\mathbb{R}^{n}$ 中向量相等以及向量加法与标量乘法类似于 $\mathbb{R}^{2}$ 中的定义。
$\mathbb{R}^{n}$ 中向量的代数性质
对 $\mathbb{R}^{n}$ 中一切向量 $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}$ 以及标量 $c$ 和 $d$ :
$\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} = \boldsymbol{v} +\boldsymbol{u} \qquad\qquad\qquad\qquad c(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}) = c\boldsymbol{u} + c\boldsymbol{v}$
$(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}) + \boldsymbol{w} = \boldsymbol{u} + (\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w}) \qquad\ (c+d)\boldsymbol{u} = c\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}$
$\boldsymbol{u} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0} + \boldsymbol{u} = \boldsymbol{u} \qquad\qquad\qquad c(d\boldsymbol{u}) = cd\boldsymbol{u}$
$\boldsymbol{u} + (\boldsymbol{-u}) = \boldsymbol{-u} + \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \qquad\quad\ 1\boldsymbol{u} = \boldsymbol{u}$

线性组合

给定 $\mathbb{R}^{n}$ 中向量 $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}$ 和标量 $c_1, c_2,\cdots,v_p$ ，向量 $\boldsymbol{y}= c_1\boldsymbol{v_1} + \cdots + c_p\boldsymbol{v_p}$ 称为向量 $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}$ 以 $c_1, c_2,\cdots,v_p$ 为权的线性组合。形如 $\boldsymbol{y}= c_1\boldsymbol{v_1} + \cdots + c_p\boldsymbol{v_p}$ 的方程称为向量方程。

设 $\boldsymbol{a_1}=\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -5 \\ \end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol{a_2}= \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 6\end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol{b}= \begin{bmatrix} 7 \\ 4 \\ -3 \\ \end{bmatrix}$ ，确定 $\boldsymbol{b}$ 能否写成 $\boldsymbol{a_1}$ 和 $\boldsymbol{a_2}$ 的线性组合，也就是说，确定是否存在权 $x_1$ 和 $x_2$ 使 $x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} = \boldsymbol{b}$ 。
解： $x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2}= x_1\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -5 \\ \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 \\ -2x_1 + 5x_2 \\ -5x_1 + 6x_2 \\ \end{bmatrix}$
向量相等当且仅当它们的对应元素相等。即 $x_1$ 和 $x_2$ 满足 $x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} = \boldsymbol{b}$ 当且仅当 $x_1$ 和 $x_2$ 满足方程组 $\begin{cases} {x_1 + 2x_2 = 7 \\ -2x_1 + 5x_2 = 4 \\ -5x_1 + 6x_2 = -3}\end{cases}$ 。
用行化简算法将方程组的增广矩阵化简，以此解方程组：
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ -2 & 5 & 4 \\ -5 & 6 & -3 \\ \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 9 & 18 \\ 0 & 16 & 32\\ \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 16 & 32 \\ \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$
由阶梯形矩阵最右列不是主元列，可知其有解。解为 $x_1=3,x_2=2$ 。
因此 $\boldsymbol{b}$ 是 $\boldsymbol{a_1}$ 与 $\boldsymbol{a_2}$ 的线性组合，权为 $x_1=3,x_2=2$ 。

若 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵。 $\boldsymbol{A}$ 的各列是 $\mathbb{R}^{m}$ 中的向量，用 $\boldsymbol{a_1}, \cdots,\boldsymbol{a_n}$ 表示，则A= $\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1},\cdots,\boldsymbol{a_n} \\ \end{bmatrix}$ 。

注意：求解过程中，增广矩阵 $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ -2 & 5 & 4 \\ -5 & 6 & -3 \\ \end{bmatrix}$ 的3列分别对应于 $\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\boldsymbol{b}$ 。即增广矩阵可直接写为: $\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\boldsymbol{b}\end{bmatrix}$ 。

向量方程 $x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} + \cdots + x_n\boldsymbol{a_n} = \boldsymbol{b}$ 和增广矩阵为 $\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1} & \boldsymbol{a_2} & \cdots & \boldsymbol{a_n} & \boldsymbol{b} \\ \end{bmatrix}$ 的线性方程组有相同的解。特别地， $\boldsymbol{b}$ 可表示为 $\boldsymbol{a_1}, \boldsymbol{a_2}, \cdots, \boldsymbol{a_n}$ 的线性组合当且仅当线性方程组有解。

$\boldsymbol{Span\{v\}}$ 与 $\boldsymbol{Span\{u,v\}}$ 的几何解释

若 $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的向量，则 $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}$ 的所有线性组合所成的集合用记号 $\boldsymbol{Span\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}}$ 表示，称为由 $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}$ 所生成（或张成）的 $\mathbb{R}^{n}$ 的子集。也就是说， $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}$ 是所有形如 $c_1\boldsymbol{v_1} + c_2\boldsymbol{v_2} + \cdots + c_p\boldsymbol{v_p}$ 的向量的集合，其中 $c_1,c_2,\cdots,c_p$ 为标量。

要判断向量 $\boldsymbol{b}$ 是否属于 $\boldsymbol{Span\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}}$ ，就是判断向量方程 $x_1\boldsymbol{v_1}+x_2\boldsymbol{v_2}+\cdots+x_p\boldsymbol{v_p}=\boldsymbol{b}$ 是否有解，或等价地，判断增广矩阵为 $\begin{bmatrix} \boldsymbol{v_1} & \boldsymbol{v_2} & \cdots & \boldsymbol{v_p} & \boldsymbol{b} \\ \end{bmatrix}$ 的线性方程组是否有解。

设 $\boldsymbol{v}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 中的向量，那么 $\boldsymbol{Span\{v\}}$ 就是 $\boldsymbol{v}$ 的所有标量倍数的集合，也就是 $\mathbb{R}^{3}$ 中通过 $\boldsymbol{v}$ 和 $\boldsymbol{0}$ 的直线上所有点的集合。

若 $\boldsymbol{u}$ 和 $\boldsymbol{v}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 中的非零向量， $\boldsymbol{v}$ 不是 $\boldsymbol{u}$ 的倍数，则 $\boldsymbol{Span\{u,v\}}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 中包含 $\boldsymbol{u}$ ， $\boldsymbol{v}$ 和 $\boldsymbol{0}$ 的平面。

线性方程组（三）- 向量方程