IIR和FIR滤波

IIR（无限脉冲响应）滤波器保留传统模拟滤波器的优良幅度特性，没有考虑相位特性，所设计的滤波器一般是某种确定的非线性相位，为了得到线性相位，还要有相位校正网络，复杂度高；FIR（有限脉冲响应）滤波器在保持幅度特性满足技术要求的同时，很容易做到严格的线性相位特性。稳定和线性相位是FIR滤波器的优点。
选频滤波器：低通、带通...；其他：微分器、希尔伯特变换器、频谱校正滤波器。
四个指标：
通带边界频率: $\omega_p$ ‘ ；阻带截止频率: $\omega_s$ ；通带最大衰减: $\alpha_p$ ；阻带最小衰减: $\alpha_s$
另外：3dB通带截止频率： $w_c$
通常通带最大衰减越小，通带波纹越小，误差越小；阻带最小衰减越大，阻带波纹越小，误差越小。
频域范围、单位：
模拟： $0-F_{s}/2$
数字: $0-\pi$
IIR数字滤波器
系统函数：
$H(z)=\frac{\sum_{i=0}^{M}b_{i}z^{-i}}{1-\sum_{j=1}^{N}a_iz^{-j}}$
间接法（先设计模拟滤波器，再转换）
巴特沃斯低通滤波器：滤波器阶数 $N$ 越大，通带越平坦，过度带越窄，过渡带与阻带幅度下降越快。实际上是根据四个指标求取 $N$ 和 $\Omega_c$ （3dB截止频率）的过程。无论通带还是阻带都是单调递减函数。
切比雪夫1型：振幅特性在通带内是等波纹的；切比雪夫2型：振幅特性在阻带内是等波纹的；这样设计可以使得滤波器阶数大大降低。
椭圆滤波器：在通带和阻带内都具有等波纹特性。阶数最低，性价比最高。
贝塞尔滤波器：在整个通带逼近线性相位特性，而其幅频特性的过渡带比其让滤波器宽的多。
直接法
将系统函数 $H_{a}(s)$ 从 $s$ 平面转换到 $z$ 平面。
1、脉冲响应不变法
利用时域逼近方法，对 $h_{a}(t)$ 进行等间隔采样，将 $h(n)=h_{a}(nT)$ 作为数字滤波器的单位脉冲响应，那么数字滤波器的系统函数 $H(z)$ 就是 $h(n)$ 的 $Z$ 变换。
$H_{a}(s) \to h_{a}(t) \to h_{a}(nT) \to h(n) \to H(z)$
映射关系： $s=\sigma+{\rm j}\Omega，z=r\rm{e}^{\rm{j}\omega}$ $z=\rm{e}^{sT}$
$H({\rm e}^{j\Omega T})=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}H_{a}(j\Omega-j\frac{2\pi}{T}k)$
$H({\rm e}^{j\omega})=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}H_{a}(j\frac{\omega -2\pi k}{T})$
所以 $H({\rm e}^{j\omega}) 是 H_{a}(\rm{j}\Omega)以2\pi/T为周期的周期延拓序列$
为了不发生频谱混叠: $H_{a}({\rm j}\Omega)=0 \quad |\Omega|\ge \frac{\pi}{T}$ 往往避免 $H({\rm e}^{j\omega})$ 太大增益 $h(n)=Th_{a}(nT)$
总结：脉冲响应不变法优点是频率变换关系是线性的，即 $\omega=\Omega T$ ，由于是模仿模拟滤波器的单位冲激响应波形，时域特性逼近好。最大缺点是可能会产生不同程度的频谱混叠失真，其只适合于低通、带通滤波器。
2、双线性变换法
为了克服脉冲响应不变法缺点，将整个模拟频率轴压缩到 $\pm \pi/T$ 之间。

变换规则：

s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}

z=\frac{{\frac{2}{T}}+s}{{\frac{2}{T}}-s}

带入

s={\rm j}\Omega，z=\rm{e}^{\rm{j}\omega}

得到下列转换关系，二者是非线性关系：

\omega \in[-\pi,\pi]

，

\Omega \in[-\infty,\infty]

。

\Omega={\frac{2}{T}}\rm{tan}{\frac{1}{2}}\omega

总结

\Omega与\omega

的非线性关系是双线性变换法的缺点，使得数字滤波器不能保真的模仿模拟滤波器的频响曲线现状。如果设计指标的边界频率以数字频率给出，则必须通过转换得到模拟滤波器的边界频率，称之为"预畸变"。
FIR数字滤波器
系统函数：

H(z)=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)z^{-n}

在

z

平面有

N-1

个零点，在原点

z=0

处有

N-1

重极点。因此FIR滤波器永远是稳定和线性相位的。
网络结构没有反馈支路，没有环路，单位脉冲响应有限长。除

z=0

外，没有极点；此外，线性相位脉冲响应应满足下式：

h(n)=\pm h(N-n-1)

H(\rm{e}^{\rm{j}\omega})=H_{g}(\omega)\rm{e}^{\rm{j}\theta(\omega)}

其中。相位特性

\theta(\omega)=-\tau \omega

\theta(\omega)=\theta_{0}-\tau \omega

且群时延

{\tau}=\frac{N-1}{2}

第一类线性相位特性：

h(n)=h(N-1-n)

第二类线性相位特性：

h(n)=-h(N-1-n)

H(z)

的零点必定共轭成对，且其倒数也必定是零点。且

h(n)

必为实序列。
1、窗函数法
理想低通滤波器的单位脉冲响应

h_{d}(n)

是无限长的，且是非因果序列。为了保证线性相位用一个窗函数

R_{N}(n)

截取，保证关于

n=(N-1)/2

偶对称，即第一类线性相位。由于用有限长

h(n)

替代

h_d(n)

，会引起吉布斯效应，即：过渡带加宽以及通带和阻带内的波动，尤其使阻带衰减小，满足不了技术指标。也称之为截断效应。
截取后，过渡带的宽度约等于窗函数主瓣宽度

4\pi /N

；通带波纹最大峰值在

\omega_c-2\pi/N

；阻带波纹最大负峰在

\omega_c+2\pi/N

。
加大窗口长度 $N$ 只能减少过渡带宽度，使得波纹波动频率加快。想要减少带内波动以及增大阻带衰减，只能改变窗函数形状，使其谱函数的主瓣包含更多能量，相应旁瓣幅度更小。但是旁瓣的减小是以加宽过渡带为代价的。
矩形窗、三角窗、汉明窗、哈明窗、布莱克曼窗以及凯塞窗。
原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择主瓣窄的窗函数。
2、频率采样法设计FIR滤波器

3、切比雪夫等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器

FIR滤波器的阶数一般是IIR阶数的5至10倍，但是IIR滤波器要想有线性相位特性，必须进行相位校正。