1.5、数系的扩充与复数的引入

一、数系的扩充和复数的概念

1、虚数单位

i叫做虚数的单位，并规定 $i^2=-1$ ；
实数与复数进行四则混合运算时，原有的加、乘运算律依然成立。i的幂的周期性： $i^4k=1,i^{4k+1}=i,i^{4k+2}=-1,i^{4k+3}=-i$

2、负数概念

形如a+bi（a,b∈R）的数叫做复数，复数通常用一个字母z表示,即z=a+bi（a，b∈R），其中a叫做它的实部，记作Re(z),即Re(z)=a;b叫做它的虚部，记作Im(z),即Im(z)=b
全体复数构成的集合叫做复数集，用字母C表示。相关的几种形式

复数a+bi（a，b∈R），当b= 0时，叫实数
复数a+bi（a，b∈R），当b≠ 0时，叫虚数
复数a+bi（a，b∈R），当a= 0，b≠ 0时，叫纯虚数
复数a+bi（a，b∈R），当a≠ 0，b≠ 0时，叫非纯虚数
复数：由实数和虚数组成。实数分为有理数与无理数，虚数分为纯虚数与非纯虚数。

3、复数相等的条件及应用

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即如果a+bi=c+di⇔a=c且b=d
如果a+bi=0 ，则a=0，b=0

4、复数的几何意义

复数与平面直角坐标系
每一个复数，对应着平面直角坐标系中唯一的一个点（或一个向量）；反过来，平面直角坐标系中每一个点（或每一个向量），也对应着唯一的一个有序实数对，这样我们通过有序实数对，可以建立复数z=a+bi和点z（a，b）（或向量 $\vec {OZ}$ ）之间的一一对应关系。
复平面
建立了直角坐标系表示复数的平面叫做复平面。复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i。
复数的向量表示
我们知道直角坐标平面内的任意一点z（a，b），有唯一的向量 $\vec {oz}$ 与之对应，而平面内的点z（a，b）与复数集中的复数z=a+bi（a，b∈R）也是一一对应的，因此一个复数确定唯一一个以原点为起点的向量，根据向量相等的定义，也就是一个复数确定唯一一个平面向量。反之，一个平面向量有唯一一个复数与之对应。

5、复平面内|z|的意义

实数集中，实数|a|表示实数a的点与原点O之间的距离，那么在复数集中，类似的，|z|表示复数z的点z到坐标原点间的距离，也就是向量 $\vec {oz}$ 的模，|z|=| $\vec {oz}$ |

6、复平面内任意两点间的距离

设复平面内任意两点P，Q所对应的复数分别为 $z_1,z_2$ ,则|PQ|=| $z_2-z_1$ |
利用此性质，通常可以解决很多求轨迹的问题，灵活应用复数的模可以求解。

二、复数代数形式的四则运算

1、复数的加法

加法的定义
实部与实部相加，虚部与虚部相加
加法的运算律
复数加法的几何意义：同向量知识结合，满足向量加法的运算法则

2、复数的减法

相反数：a+bi的相反数是-a-bi
减法原则：实部与实部相减，虚部与虚部相减
复数减法的几何意义：向量的减法的几何解释与复数的几何解释一致。
两点间的距离公式：
设 $z_1=a+bi,z_2=c+di$ ,则| $\vec z_2 \vec z_1$ |=| $\vec z_1- \vec z_2$ |=|(a-c)+(b-d)i|= $\sqrt {{(a-c)}^2 + (b-d)^2}$

3、复数的乘法

4、复数的除法

5、共轭复数

概念：如果两个复数实部相等，虚部为相反数时，这两个复数为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做互为共轭复数。
复数z= a+bi（a，b∈R）,则 $\overline z$ =a-bi
共轭复数的性质
设z= a+bi， $\overline z$ =a-bi（a，b∈R） $z_1,z_2,z_3^...z_n$ ∈C，则
① $\overline {(\overline z)}$ = z
②z = $\overline z$ ⇔z为实数
③ $\overline z$ =-z⇔z为纯虚数
④z. $\overline z$ =1,则|z|=1
⑤z. $\overline z$ =|z|=| $\overline z$ |= $a^2+b^2$
⑥z+ $\overline z$ =2a z- $\overline z$ =2bi
⑦ $\overline {z_1+z_2+...z_n}$ = $\overline z_1$ + $\overline z_2$ +...+ $\overline z_n$
⑧ $\overline {z_1-z_2}$ = $\overline z_1$ - $\overline z_2$
⑨ $\overline {z_1\cdot z_2 ...z_n}$ = $\overline z_1 \cdot \overline z_2$ ... $\overline z_n$
⑩ $\overline {\frac{z_1}{z_2}}$ = $\frac {\overline z_1}{\overline z_2}$ ( $z_2$ ≠0)

6、特殊的复数ω= $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt {3}}{2}i$

① $\overline ω$ = $\frac{1}{2}-\frac{\sqrt {3}}{2}i$
② $ω ^2$ = $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt {3}}{2}i$ =- $\overline ω$
③ $ω ^3$ =-1
④ $1+ ω+ ω ^2$ =0
⑤|ω|=| $\overline ω$ |=1