有限体积法学习——2019-07-07

《An introduction to COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS, The Finite Volume Method》

分为稳态（Equilibrium problems）和瞬态（Marching problems）问题两类。

稳态问题中介绍的是控制方程为椭圆型方程的问题，如Laplace方程所描述的无旋的不可压流体的流动以及稳态的热传导问题。

$\frac{\partial^2 \phi }{\partial x^2} +\frac{\partial^2 \phi }{\partial y^2}=0$

特点：信息向四周传播；得到的结果更加光滑。

瞬态问题中先介绍抛物线型方程控制的如瞬态粘性流动和热传导问题。经典抛物线型方程为一维扩散方程。

$\frac{\partial \phi }{\partial t}=\alpha \frac{\partial^2 \phi }{\partial x^2}$

一个点的扰动会影响全局的解。扩散效应（耗散效应）会使解在任意时刻都是光滑的，即使初始条件是不连续的，粘性的耗散效应会抹平间断的突变。在解逐渐发展达到稳态状态后，问题变为椭圆型方程问题。

再介绍了双曲线型方程控制的振荡问题，可用于如无粘的超声速或接近声速（subsonic transonic supersonic hypersonic）的可压缩流动。经典的为波动方程。

$\frac{\partial^2 \phi }{\partial t^2}=c^2 \frac{\partial^2 \phi }{\partial x^2}$

一点的扰动只能影响部分区域，扰动的传播速度为波速c，而椭圆型和抛物线型方程的传播速度为无穷大，也就是说，扰动一旦发生整个域内的解都会瞬时改变。没有能量的耗散，间断不会被抹去。

extension:

Burgers方程： $\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=\beta \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

模拟冲击波的传播和反射的偏微分方程。既具有双曲线型方程特点又具有抛物线型方程特点，也就是既具有粘性流动NS方程组的特点，又有无粘性流动Euler方程组的性质。

粘性使流场中不会出现间断，双曲线型方程又具有波动性，但扰动在传播过程中幅值降低。