离散时间正弦信号的周期性判别问题

我们知道：对于任意的连续时间正弦信号，它都具有周期性且其最小正周期都是 $\frac{2\pi}{\omega}$ （ $\omega$ 是频率）；而对于离散时间正弦信号，只有当 $\frac{2\pi}{\Omega}$ （ $\Omega$ 是频率）是一个实数时，它才具周期性且周期为 $\frac{2\pi}{\Omega}$ 的正整数倍。本文从连续时间正弦信号、离散时间正弦信号各自的时移（Time Shift）和相变（Phase Change）关系来推导背后原理。

0 周期性

当一个信号满足以下式子我们称其具有周期性且最小正周期为T，

$x(t) = x(t + mT)$

$m$ 为非0整数

1 连续时间正弦信号

1.1 数学表达式

$x(t) = A\sin (\omega t+\phi)$

$A$ 是振幅（amplitude）
$\omega$ 是频率（frequency）
$\phi$ 是初相位（phase）

1.2 时移与相变

对于连续时间正弦型号

$时移\Leftrightarrow 相变$

1.2.1 时移 $\Rightarrow$ 相变

假定信号时移 $t_0$ ，则时移后的信号 $x(t + t_0)$ 可表示如下

$x(t + t_0) = A\sin[\omega (t+t_0)+\phi] = A\sin(\omega t+\omega t_0+\phi)$

令 $\omega t_0 = \phi_0$ ，则 $x(t + t_0)$ 如下

$x(t + t_0) = A\sin(\omega t+\phi_0+\phi)$

从上式我们易知任意 $t_0$ 的时移相当于 $\phi_0=\omega t_0$ 的相变

1.2.2 时移 $\Leftarrow$ 相变

假定信号相变 $\phi_1$ ，则相变后的信号 $x(t)_1$ 可表示如下

$x(t)_1 = A\sin(\omega t+\phi_1+\phi)$

令 $\omega t_1 = \phi_1$ ，则相变后的信号 $x(t)_1$ 如下

$x(t)_1 =A\sin(\omega t+\omega t_1+\phi) = A\sin[\omega (t+t_1)+\phi]$

故，对于任意的 $\phi_1$ 的相变相当于 $t_1 = \frac{\phi_1}{\omega}$ 的时移

1.3 周期性与最小正周期

将一个连续时间正弦信号 $x(t)$ 时移 $T$ 得到如下式子

$x(t+T) = A\sin[\omega (t+T)+\phi] = A\sin(\omega t+\omega T+\phi)$

我们知道当 $\omega T = 2m\pi$ （ $m$ 为任意非零整数）成立时，有

$x(t+T) = x(t)$

当 $m=1$ 时，这里的 $T_0 = \frac{2\pi}{\omega}$ 被称之为连续时间正弦信号的最小正周期。
即，对于任意的连续时间正弦信号，它都具有周期性且其最小正周期都是 $\frac{2\pi}{\omega}$ （ $\omega$ 是频率）

2 离散时间正弦信号

2.1 数学表达式

$x[n] = A\sin (\Omega n+\phi)$

$A$ 是振幅（amplitude）
$\Omega$ 是频率（frequency）
$\phi$ 是初相位（phase）

2.2 时移与相变

对于离散时间正弦型号

$时移\Rightarrow 相变$

$时移\nLeftarrow 相变$

2.2.1 时移 $\Rightarrow$ 相变

假定信号时移 $n_0$ ，则时移后的信号 $x[n + n_0]$ 可表示如下

$x[n + n_0] = A\sin[\Omega (n+n_0)+\phi] = A\sin(\Omega n+\Omega n_0+\phi)$

令 $\Omega n_0 = \phi_0$ ，则 $x[n + n_0]$ 如下

$x[n + n_0] = A\sin(\Omega n+\phi_0+\phi)$

从上式我们易知任意 $n_0$ 的时移相当于 $\phi_0=\Omega n_0$ 的相变

2.2.2 时移 $\nLeftarrow$ 相变

假定信号相变 $\phi_1$ ，则相变后的信号 $x[n]_1$ 可表示如下

$x[n]_1 = A\sin(\Omega n+\phi_1+\phi)$

这里令 $\Omega n_1 = \phi_1$ ，则 $x[n]_1$ 如下

$x[n]_1 =A\sin(\Omega n+\Omega n_1+\phi) = A\sin[\Omega (n+n_1)+\phi]$

到这里有读者可能会得出结论：与连续时间正弦信号类似，对于离散时间正弦型号来说，任意的 $\phi_1$ 的相变相当于 $n_1 = \frac{\phi_1}{\Omega}$ 的时移。实际上是不对的，因为对于离散时间信号来说，时移量必须是整数，这里的 $n_1$ 显然可能是小数，甚至是无理数。

2.3 周期性与最小正周期

将一个离散时间正弦信号 $x[n]$ 时移 $N$ （这里的 $N$ 必须是一个整数）得到如下式子

$x[n+N] = A\sin[\Omega (n+N)+\phi] = A\sin(\Omega n+\Omega N+\phi)$

我们知道，当 $\Omega N= 2m\pi$ （ $m$ 为非零整数）时，有

$x[n] = x[n + N]$

由于 $N$ 必须是一个整数的限制，上式 $\Omega N= 2m\pi$ 并不总是成立，存在以下三种情况

$\frac{N}{m} = \frac{2\pi}{\Omega}$ 是一个整数，此时 $x[n]$ 具有周期性，且最小正周期为 $\frac{N}{m} = \frac{2\pi}{\Omega}$
$\frac{N}{m} = \frac{2\pi}{\Omega}$ 是一个小数，此时 $x[n]$ 具有周期性，而最小正周期为 $N = \frac{2m\pi}{\Omega}$
$\frac{N}{m} = \frac{2\pi}{\Omega}$ 是一个无理数，此时 $x[n]$ 不具有周期性

如此我们得出以下结论：对于离散时间正弦信号，只有当 $\frac{2\pi}{\Omega}$ （ $\Omega$ 是频率）是一个实数时，它才具周期性且周期为 $\frac{2\pi}{\Omega}$ 的正整数倍。

最后编辑于：2020.02.02 14:07:02

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