2019-03-08

功&陈学桐

知识点

功的定义与作用
恒力的功
$W=F\Delta x cos\theta$
变力的功
$W=\int_{A}^{B}Fcos\theta dx$
1 直接积分法
2 动能定理法
3 建模积分法

例题

例1. 恒力与位移同向

某物体，收到沿着x轴的恒力F=10N作用，并沿着x轴正向移动了 $\Delta x=5$ 的位移，则该力做功为？

答： $W=F\Delta x=50$

例2. 恒力与位移同向有固定夹角

某物体，收到沿着x轴向上 $30^{\circ}$ 的恒力 $F=10N$ 作用，并沿着x轴正向移动了 $\Delta x=5$ 的位移，则该力做功为？

答： $W=F\Delta xcos\theta=25\sqrt3$

例3. 变力：大小不变，夹角随位移变化

某物体，收到恒力F=10N作用，且它与x轴的夹角 $\theta=x$ 物体从坐标原点沿x轴正向移动了 $\Delta x=5$ 的位移，则该力做功为？

答： $W=\int_{0}^{5}Fcos\theta dx=10sin5$

例4. 变力：方向不变，大小F随位移变化

某质点在力 $\vec{F}=(4+2x)\vec{i}$ 的作用下沿x轴作直线运动，在从x=0移动到x=10的过程中，力所做的功为?

答： $W=\int_{0}^{10}Fdx=140$

例5. 变力：已知初末状态，用动能定理

某质量为m质点在力 $\vec{F}=(4+2v)\vec{i}$ 的作用下沿x轴作直线运动，在从 $v_0=0$ 移动到v=10的过程中，力所做的功为?

答：错误作法： $W=\int_{0}^{10}（4+2v）dv=140$
正解： $W=\frac{1}{2} m(v^2-{v_0}^2)=50m$

作业

变力做功的常用方法：动能定理。质量为m=2的质点，在OXY坐标平面内运动，其运动方程为x=5t， $y=t^2$ ,从t=2至t=4这段时间内，外力对质点作的功为？

答：由题意得：
$v_x=5$ $a_y=2$
当t=2时 $v_y=4$ $v_0$ = $\sqrt41$
当t=4时 $v_y=8$ $v$ = $\sqrt89$
$W=\frac{1}{2} m(v^2-{v_0}^2)=48$

变力做功的常用方法：动能定理。质量为m=1的质点在外力 $\vec{F}=2t\vec{i}$ 的作用下，从静止沿x轴作正向直线运动，前3秒对质点作的功为？

答：由动量定理 $I=\int_{0}^{3}Fdt=9$
$I=mv-0=9$
$W=\frac{1}{2}m (v^2-0)=40.5$

质量m=2的物体沿x轴作直线运动，所受合外力F=1+2x 。如果在x=0处时速度 $v_0$ = $\sqrt5$ 求该物体运动到x=4处时速度的大小？

答：
$W=\int_{0}^{4}Fdx=20$
$W=\frac{1}{2} m(v^2-{v_0}^2)$
解得v=5

例6.建模积分法

一人从深度为H的井中提水，起始时桶中装有质量为M的水，桶的质量为mkg，由于水桶漏水，每升高1米要漏去质量为a的水。求水桶匀速缓慢地从井中提到井口人所作的功W。

答：以井底为原点，向上为正方向建立x轴。
关于积分微小过程的描述有
(1) 当水桶位于x位置时
(2) 当水桶从x位置上升到x+dx的过程中
F(x)=(M+m-xa)g
$W=\int_{0}^{H}F(x)dx$

作业

一链条总长为l，质量为m，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为a设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为 $\mu$ 。令链条由静止开始运动，则到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？

答：以桌面边缘为原点，以向下为正方向建立x轴。
关于积分微小过程的描述有
(1) 当位于x位置时
(2) 当从x位置下降到x+dx的过程中
$f（x）=-\frac{l-x}{l}mg\mu$
$W=\int_{a}^{l}f(x)dx$

最后编辑于：2019.03.13 08:50:48

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例1. 恒力与位移同向

例2. 恒力与位移同向有固定夹角

例3. 变力：大小不变，夹角随位移变化

例4. 变力：方向不变，大小F随位移变化

例5. 变力：已知初末状态，用动能定理

作业

例6.建模积分法

作业

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