主成分分析是一种降维处理的统计方法，实践中有三个应用场景：
信息浓缩：将多个分析项浓缩成几个关键概括性指标；
权重计算：利用方差解释率值计算各概括性指标的权重；
综合评价：基于主成分得分构造综合得分数据，用于综合评价。
接下来，以一个具体案例来学习主成分分析用于综合评价。
案例数据原始来源：《直辖市、副省级城市、经济特区和沿海开放城市统计资料汇编(2004)》，直接来源：马力, 史锦凤. 15个副省级城市区域经济发展水平的实证分析[J]. 科技进步与对策, 2006, 23(12):3.
选取反映区域经济发展水平的7个指标，对我国15个副省级城市的经济发展水平进行综合评价研究。
数据上传SPSSAU后，在 “我的数据”中查看浏览原始数据，前5行数据如下：
7项经济指标包括：GDP、农业总产值、工业总产值、第三产业总产值、固定资产投资总额、消费品零售总额、城乡居民储蓄年末余额，均为连续型数据资料。
在“通用方法”栏目下，选择“相关”，将GDP等7个经济指标拖拽至【定量分析项】框内，默认要求输出Pearson相关系数矩阵。
上图展示了7个指标两两之间Pearson相关系数，相关程度范围为0.10~0.97。农业总产值、固定资产投资总额、消费品零售总额与其他指标相关性普遍低于0.3，而其他指标之间的相关性则相对较高，总体看指标间有一定的相关性基础。
之所以要使用主成分分析，是因为可用来评价研究对象的指标过多，如果现有数据中仅有少数比如1~3个指标，那大概率来说，我们做主成分分析的必要性并不大。
因此，有较多的评价指标有待于被降维处理或信息浓缩处理，这是基本出发点，要求这些指标须是连续型数据资料，且有一定的相关性基础。
还有一个需要了解的知识点，原则上我们应该先对这些指标变量进行标准化处理，以统一众多指标变量量纲单位。但在SPSSAU中，大家需要知道一下，它在执行主成分分析时会对数据默认进行标准化操作，因此我们并不需要单独地提前去做这一项工作。
在SPSSAU的“进阶方法”栏目下选择“主成分”，将GDP等7个连续型指标变量数据拖拽至【定量分析项】，也就是说现在我们要对这7个指标进行信息浓缩，那么，浓缩为几个主成分呢？
SPSSAU可以自动智能化帮助我们做出决策，如果说你对未来主成分有较成熟的专业认识或经验判断，那么可以自定义主成分的个数。本例选择让SPSSAU自动决策。
当然，我们也可以执行一个类似于“回马枪”的做法。让SPSSAU先做自动主成分，然后我们根据输出的特征值、方差比例、碎石图等信息再行讨论和决策，返回主成分操作界面，直接指定主成分的个数。
总的来说，主成分个数的确认主要有三个依据，第一个特征值大于1；第二个是累计方差贡献达到能接受的水平（比如80%以上）；第三个是碎石图陡坡信息（看到明显拐点）。
SPSSAU还提供了两项计算，可以计算并另存出成分得分数据，以及综合得分数据，该两项可帮忙自动计算主成分得分和综合得分，下述有具体说明。
最后点【开始分析】，执行主成分分析。
上面进行的主成分分析操作，我们发现整个过程没有“旋转”主成分的功能或提示，这里要和因子分析进行区别。
主成分分析并不刻意强调主成分的实际合理性，没有严格规定必须要对主成分做命名或实际意义的提炼。这与因子分析是有区别的，因子分析强调公共因子命名，即给公因子实际含义进行信息归纳总结。
小结一下，主成分分析可以做命名也可以不做。如果你的研究需要对主成分进行合理性命名，可以借助SPSSAU的因子分析功能，经因子旋转操作来给主成分进行命名（SPSSAU默认直接执行旋转操作）。
稍后，本例会进行示范。
来看结果。
主成分和因子分析都要求多维度指标间存在一定的相关性，如何做出判断呢？目前主要基于KMO值和Bartlett检验。
本例结果如下表所示。
KMO值如果高于0.8，则说明非常适合进行分析；介于0.7~0.8之间，则说明比较适合进行分析；如果此值介于0.6~0.7，则说明可以进行分析；如果此值小于0.6，说明不适合进行分析。另有说法是KMO指须大于0.5。
Bartlett检验对应p值小于0.05通过检验，也说明适合进行主成分分析。
本例，KMO值=0.658，Bartlett检验对应p值＜0.05，均说明案例数据适合做主成分。
主成分分析是基于相关系数矩阵或协方差矩阵计算的，而矩阵运算有一个非常重要的概念叫做特征值或特征根。根据特征根，可以计算每个主成分的方差贡献比例（或称之为方差解释率，下同），特征根，方差解释率是我们判断主成分个数的核心依据。
原本我们有众多指标，假设是k个，做主成分分析的目的是为了降维、信息浓缩，从k个指标中构建（或称为提取）出少数几个主成分，问题是，我们构建几个主成分合适呢？
常见或一般地做法是，选择那些特征根大于1的成分，而且要求这少数几个成分的累积方差解释率足够高。有时为强调更高的累积方差解释率，选择特征根接近1（小于1）的成分也是可以的。
SPSSAU会根据特征根大于1的标准，自动确认主成分的个数，本例结果如下表所示。
从上表可知：主成分分析将构建出3个主成分（前3个成分做累积方差计算），特征根值均大于1，依次为3.519、1.646、1.047。
此3个主成分的方差解释率分别是50.266%、23.512%、14.954%，累积方差解释率为88.733%。这表示，第一主成分可解释我们待降维的7个指标50.266%的信息量，第二主成分可解释23.512%的信息量，第三主成分可解释14.954%。
累积方差解释率多大合适呢？常见的说法是80%，当然这并非一个严格标准，实践中70%以上，或60%也并非不可。我们总是期望累积方差解释率高一些，但实际当中往往并非如此，还需要根据实际情况综合决策。
SPSSAU将为本例构建三个主成分，如果给他们各自一个权重，可以用各自的方差比例除以累积方差来计算。本例的三个主成分权重依次为50.266/88.733=56.65%、23.512/88.733=26.50%和14.954/88.733=16.85%。
碎石图在主成分和因子分析中应用极广，它其实就是各成分的特征根的可视化图形。本例碎石图如下：
碎石图形象展示各成分特征根“陡坡势能”的变化过程，落差幅度越大说明对应的成分越重要，解释能力越强。碎石图一般是前几个特征根陡坡落差幅度比较大，越往后越平缓。
本例，前三个陡坡落差幅度较大，提示构建三个主成分是合适的。
SPSSAU将构建三个主成分，这些主成分各自与哪些指标有关系呢？总体上如何评价三个主成分的效果呢？
载荷系数和共同度指标可以回答以上问题。载荷系数反映了主成分与指标间的相关关系，共同度总体上反映所构建的主成分的解释能力。
本例对应的结果，见下表：
可以看到，本案例的共同度指标在0.707~0.969之间，表现良好（一般要求大于0.4或0.5）。
而各指标与三个主成分载荷系数，尤其是第一主成分与第二主成分的载荷系数纠缠不清，同一个指标在第一和第二主成分上都有较高的载荷。如果是强调主成分命名，那么这样的载荷是不利于命名的。应当采取“旋转”策略，让载荷系数向0和1两极化，以提高主成分命名的能力。
如果确需旋转处理，则需使用SPSSAU的因子分析（默认采取正交旋转法），工作界面和操作和主成分基本类似。本例旋转后的载荷表格如上表所示。
可以发现，第一主成分与GDP、工业总产值、第三产业总产值有关；第二主成分与固定资产投资总额、消费品零售总额、城乡居民储蓄年末余额有关；第三主成分与农业总产值有关。
本案例并不关心命名问题，所以暂不考虑旋转处理，我们直接读取SPSSAU主成分结果即可。
前面我们用载荷系数形容指标与主成分间的关系。从原理上，主成分是指标变量的线性组合，即给指标变量数据线性组合的系数，就可以计算主成分得分数据。
ZX表示指标变量的标准化值，u表示线性组合系数，F为主成分，本例中我们采用PC表示F。
SPSSAU直接帮我们计算出线性组合系数，见下表。我们只需要将原始数据标准化获得标准化数据，那么就可以计算主成分得分PC。
据上表可写出三个主成分得分数据的表达式。以第一主成分为例：
PC1=0.393*ZX1+0.103*ZX2+0.404* ZX3+0.454*ZX4+0.342 *ZX5+0.379* ZX6+0.452* ZX7
刚才我们以第一主成分为例写出来主成分计算公式，据此公式可以计算得到三个主成分的得分数据。线性组合的系数SPSSAU已经直接提供了，根据公式，我们还需要自己准备好原始数据的标准化值。
这项工作也可以在SPSSAU中直接实现。在“数据处理”栏目下，选中7个指标，选择“生成变量”，在右侧的功能中选择【Z标准化】，点击【确认处理】即可。
可以在“我的数据”中浏览到标准化结果，然后利用上述部分的公式自行进行计算。
更省事的方式是直接使用SPSSAU的“主成分”保存功能，它会直接将主成分得分保存为新的标题操作如下图所示：
然后我们就会得到3个标题，类似名称为“PcaScore_****”,可通过右上角“我的数据”进行查看，或者下载使用，如下图：
获得主成分得分数据后，我们给各主成分分配权重系数，即可构造综合得分数据。本例的综合得分可表示为：
PC综合=0.5665*PC1+0.265*PC2+0.1685*PC3
三个主成分的归一化权重系数0.5665、0.2650、0.1685从何而来呢？它是用各主成分的方差除以累积方差计算的结果。这项计算工作，也可以让SPSSAU自动完成，选择“综合得分”复选框，就会得到一个类似为“CompScore_****”的数据标题，当然也可通过点击SPSSAU右上角“我的数据”进行查看或者下载综合得分数据。
主成分或因子分析用作综合评价研究，最后一步主要是基于主成分或公因子得分数据，以及构造的综合得分数据，对研究对象进行排名，根据各得分数据、排名的表现展开对研究对象的评价工作。
借助SPSSAU输出的综合得分数据，接着按PC综合得分数据对15个地区进行降序排列，给出15个地区经济发展的综合排名。
最终，本案例主成分得分、综合得分、综合排名的结果见上表。
接下来就是专业人士对该结果的解读和结论的讨论。这部分由具体研究人员根据上述表格结果完成即可。本例略。读者可参考阅读下方这篇论文：
马力,史锦凤. 15个副省级城市区域经济发展水平的实证分析[J]. 科技进步与对策, 2006, 23(12):3.
主成分分析，是考察多个变量间相关性的一种多元统计方法，基本思想是在保留原始数据尽可能多的信息前提下达到降维目的，简化问题并抓住主要矛盾。最后构建出少数几个替代原始数据的主成分，它们是原始变量的线性组合。
总体来说，主成分分析和因子分析在数据要求上，分析目的上是一致的，能使用主成分分析的研究，也一定能用因子分析实现研究目的。
但从统计工具实现的角度来说，显然常见统计工具对因子分析的支持更完善，对主成分分析的支持则各有不同。
SPSSAU既可以做主成分分析也可以实现因子分析，且可以直接帮我们计算指标权重系数。SPSSAU主成分分析还可以直接获得线性组合的系数、主成分得分和综合得分，为用户实现主成分分析提供了便利。
