时钟与追及问题

我在假期做第五套试卷的时候，遇到了一道我在以前实质上理解错了的题，时钟问题。

例题：某人在17点多钟外出买东西，看钟表上的时针和分针的夹角是110°，在将近18点回家时，发现时针和分针的来角又是110°，问此人外出用了（    ）分钟。

我开始和以前一样用两种方法：1.看表然后假设出结果。2、精确画表然后假设出结果。但，这也就注定了结果中的侥幸成分。所以我问妈妈，妈妈教我了一种方法，就是把钟表问题看成特别的追及问题。比如我们可以列出前面题目的等式，也就是设经过时间为t分钟，并算出时针的速度0.5°/min，分针速度6°/min。所以我们可以得到等式

0.5t+110x2=6t

220=5.5t

t=40

这使我明白了钟表问题就是变种的追及问题【等价的追及问题：360m的跑道，甲6m/min，乙0.5m/min。一开始甲落后乙110m，后超过乙110m。问甲用了多长时间？】，只是单位不同罢了。何以见得？因为他们的方向都是同向，并且追及问题速度快比慢的要多跑几个总路程。

然后便是改题了。我们可以分两种等级来改。首先初级，单纯的改数字。比如把夹角110°改成165°，等等......相当于重新算一便，没有什么可说的。其次，高级，也就是第二种：改一个题，改题意，但还是钟表问题，比如：

小明中午12点出门，时针与分针正好重合。当他回家时，时针与分针正好又重合了四次。问：小明出去了多久？

最后就是解我出的题了。首先设时间为t分钟。

360×4+0.5t=6t

1440=5.5t

t=2880/11 分钟

总结：遇到一道不会的题，1.先问会了题 2.写错题分析 3.改题 4.回答改题。

这便是我如何改一道题。

追及与相遇

前面说的是相同方向的追及问题。而说完了追及，就该说相遇问题了。比如试卷4的一大题的6小题：

甲、乙两车分别从A,B两地同时出发，相对而行，4小时后二车相遇。相遇后二车按各自的速度继续向前行驶了3小时，这时甲车距离B地还有135km,乙车距离A地还有30km。乙车比甲车每小时多行（    ）km.

这道题我看到后第一反应还是一样，不懂，没有思路。我问了我爸，会了这道题。

我爸爸教我先列出等量关系式。意思就是说所有的量都先设成未知数，然后列等式来算。方程也好，混和算式也好，总之就可以算出来了。我是这么列的算式：

设甲的速度为x（km/h），乙的速度为y（km/h），A一B的路程为R（km）,可列关系式两个。

7x=R-135，7y=R-30，求y-x。

7y-7x = (R-30)-(R-135)

7(y-x) = R-30-R+135

y-x = (135-30)÷7 = 15

从前面我们就可以得出答案，乙车比甲车每小时多行15km。这个没有错题原因，因为我不知道如何去表达没思路。

然后便是改编题了。我们直接改题意不改架构：

甲车和乙车两车分别从A、B二地出发，相向而行。甲的速度为48km/h，乙的速度为64km/h。当甲车行驶至离中点1/20时（不是过中点，是差中点），乙距甲24km。

问：总路程是多少km?

我们可以解了

解：设甲车行至离中点1/20时用了t小时，总路程为R。

48t = 9R/20

48t + 64t = R + 24    ==>    112t = R + 24    ==>    48t =  (R + 24) x 48 ÷ 112

所以  9R / 20 = 48 (R + 24) / 112 = 3(R + 24) / 7

(9/20 - 3/7) R = 3 x 24 / 7

3 x R / 140 = 3 x 24 / 7

R / 20 = 24

R = 480

其实我都不需要写二元的，因为第一步就已经可以做代入消元了。我走了二元的过场只是为了清晰明了一些。

这便是我如何改编一道题。

我出一道题：

二人跑圈，甲跑的速度与乙速比是6:5，当甲跑了30min后，甲领先乙一圈。甲速度为6m/s。

问：总路程？

还有一关联性没有那么强的，也就是在直线上追人。如：

甲乙二人同时出发跑步，甲跑至全程2/3时，乙跑的与未跑的比为3:1。甲乙相人距12km。

问：路多长？

这便是关联性。追及与相遇的区别在于如果要求总路程，相遇是路程相加，追及是路程相减。

商场打折问题

关于打折问题。首失，我先列举一道题：

哥哥想买标价为260元的旅游鞋。A商场按每满100元减40元的的方式销售，B商场按“折上折”的方式销售，先打八折，在此基础上再打九折。哥哥想买的这双旅游鞋在A,B两家商场的实际售价各是多少元？

这个是比较简单的。A商场就是260里的200打六折，乘以(100 - 40)%。便是200×60%+60=180（元）。B商场的是“折上折”，0.8×0.9=0.72，B商场实际售价260×0.72=187.2（元）。

主要让我无法理解的题是这一类，我有时明知道该怎么作做，但又讲不出原理：

六一儿童节到了，小明学习机，他发现熙地港和汉神购物广场的这款学习机定价相同，且都在进行优惠活动，熙地港的优惠方案是：“先打八折，再优惠100元。”汉神的优惠方法是：“先降价100元，再打八折。”那么两个商场对这款学习机的优惠相差（    ）元。

我还是和以往一样，特例和空着。但，明显不行。我们需要普遍式子。

我们设学习机为x元，相差y元。我们可以先看一下哪个商场贵，哪个便宜。因为贵减便宜。熙地港：0.8x-100。汉神购物：0.8(x-100)=0.8x-80。我们得知，汉神贵。我们可以得出来，

0.8x-100=0.8x-80-y

0.8x-20=0.8x-y

y=20

也就是说，商场问题的核心是用原价来表示优惠价。方程思想，用x或其他字母替代未知数并代入等式来解。

然后便是改编。我们用第二种改编法（具体看前文）:

有二商场，卖定价相同的一样东西。甲商做“折上折”优惠，打五折基础上再打二折。乙商是：满100减90元。已知定价超过100元，且不是整数。

问：谁便宜？

解：设定价为X元（X>100)

甲售价：X × 0.5 × 0.2 = 0.1X

乙售价：(X - 100) + 10

答：甲便宜，因为甲是一折，乙是原价减100再加100的一折

商场问题3：我们还可以出一种不知道原价的题：

某衣服按成本40%的利润定价，后又按九五折出售，此时每件可获利了330元.

问：衣服成本。

我们设成本为X元

X+330=(140%x0.95) x X

X=1000

可能有人就要问了：不是设定价吗？前面不应该是定价的40%吗？不是。这个是需要注意的，不是定价的40%，而是成本价的40%。

二元一次方程

我发现，前面好多题都在用二元一次方程。那，我们今天就来说一下二元一次方程吧。

首先，我们先看一下需要用到二元一次方程题的流程吧。首失便是找出题目中的等量关系式，其次便是列方程了。列方程我们先要定义二元一次方程。要定义二元一次方程，我们先得看如何定义一元一次方程。我们先举特例：3x-4=0，2x-1=0，3x-1=0，x+2=0。于是我们们可以得出来这样一个普遍例子

AX+B=0

A是系数，B是常数，X是未知数。

我们可以总结一元一次方程的定义：一个带有一个未知数的等式（未知数不能有次方，否则便成了一元N次方程）则为一元一次方程。

我们也可以套在二元一次方程上面。先是特例：

x+y-4=0、5x-y+4=0、6x-7y+4=0。可得特例普例：

ax+by+c=0。

文字语言：一个带有两个未知数的等式（未知数不可有次方）则为二元一次方程。

说完定义后还要说一点，便是二元一次方程需要两个等量关系式，一个解不出来。至于为什么大家可以自己尝试。因为我们要解他，要消元，消成一元一次方程，所以我们需要两个式子。

接下来便是解式子进行消元了。我先说一种代入式消元法，把上一个式子中的式子化简为一个未和数x等于一个未知数y进行加减乘除。我们先举特例：

然后是普遍例子：

还有一个加减消元法，便是拿上面的式子加/减下面的式子。我们用上面的例子来讲：

特例：

普遍：

这便是二元一次方程。

我们可以再拓展一下常数的概念。他和代数有些相像，而且又有点难以理解。为什么？因为他是一个不定数（我随便给的一个命名）,也就是他是任易一个数，就比如X+A(常数）=x+任易数。是不是有点怪？但这便是常数。系数也有点类似。