第三讲函数极限以及连续性

这一讲分三个部分，函数极限的定义与性质、函数极限的计算与函数的连续性
函数的连续性实际上是函数极限的应用

第一部分函数的极限

邻域：属于一个区间的范畴，可以简单的理解为一个“局部位置” ，比如“点 $x_0$ 的 $\delta$ 邻域，就可以称为“点 $x_0$ 的附近”，这个“附近”(即 $\delta$ )到底有多近多远，既难以说明也没必要说明，通常只会在意 $\delta$ 的存在性

函数极限的定义：
$\varepsilon-\delta$ 语言： $\forall\varepsilon\gt 0,\exists\delta\gt 0$ ，当 $0\lt |x-x_0|\lt\delta$ 时，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ，则记 $\lim_{x\to x_0}f(x)=A$

$\varepsilon-X$ 语言： $\forall\varepsilon\gt 0,\exists X\gt 0$ ，当 $|x|\gt X$ 时，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ，则记 $\lim_{x\to\infty}f(x)=A$

函数极限的性质：
唯一性： $\lim_{x\to x_0}f(x)=A\iff\lim_{x\to x_0^-}f(x)=A,\lim_{x\to x_0^+}f(x)=A$

脱帽法： $\lim_{x\to x_0}f(x)=A\Rightarrow f(x)=A+\alpha(x),\lim_{x\to x_0}\alpha(x)=0$

局部有界性：如果 $\lim_{x\to x_0}f(x)=A$ ，则存在正常数M和 $\delta$ ，使得当 $0\lt|x-x_0|\lt\delta$ 时，有 $|f(x)|\le M$

局部保号性：如果 $f(x)\to A(x\to x_0)$ ，且A>0，那么存在常数 $\delta\gt 0$ ，使得当 $0\lt|x-x_0|\lt\delta$ 时，有f(x)>0（即，极限大于零，邻域内的函数也大于零）

戴帽法： $f(x)\ge 0(x\to x_0),\lim_{x\to x_0}f(x)=A\Rightarrow A\ge 0$

判断函数的有界性：

设 $\lim_{x\to\cdot}f(x)$ 存在，则当" $x\to\cdot$ "时，f(x)有界。值得注意的是，极限的存在只是函数局部有界的充分条件而非必要条件
若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界
有限个有界函数的和、差、积仍为有界函数
若f'(x)在有限区间(a,b)内有界，则f(x)在该区间内也有界

第二部分函数极限的计算

极限的运算法则：如果两个函数的极限都存在，那么这两个函数经过四则运算后的极限，就是他们极限经过四则运算的结果

夹逼准则： $g(x)\le f(x)\le h(x),\lim g(x)=A,\lim h(x)=A\Rightarrow\lim f(x)=A$

洛必达法则：
若 $\lim_{x\to\cdot}f(x)=0(\infty),\lim_{x\to\cdot}F(x)=0(\infty)$
则 $\lim_{x\to\cdot}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\to\cdot}\frac{f'(x)}{F'(x)}$
注意，洛必达法则还有一个前提是 $\lim_{x\to\cdot}\frac{f'(x)}{F'(x)}$ 是存在的，如果不存在，则称这种情况为“洛必达失效”而不能说原式的极限也不存在
此外，由于这个前提，当函数中带有未知参数的时候是无法使用洛必达法则的，因为并不能确定求导后的极限是否是存在的

此外，在使用洛必达法则的时候，需要把相对简单的因式( $x^a,e^{\beta x}$ )放在分母上，不要把复杂的因式( $\ln x,\arcsin x,\arctan x$ )放下去

泰勒公式：( $\color{red}{重要等级三颗星}$ )
如果一个函数可导，那么 $f(x)=\sum a_nX^n$
重要的8个公式：

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$
$\arcsin x=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
$(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+o(x^2)$

无穷小运算规则：

有限个无穷小的和是无穷小
有界函数与无穷小的乘积是无穷小
有限个无穷小的乘积是无穷小
1.. $o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^l),l=min<m,n>$
2.. $o(x^m)\cdot o(x^n)=o(x^{m+n}),x^m\cdot o(x^n)=o(x^{m+n})$
3.. $o(x^m)=o(kx^m)=k\cdot o(x^m)$ ，k为非零常数
常用的等价无穷小( $x\to 0$ ):
$\sin x\sim x,\tan x\sim x,\arcsin x\sim x,\arctan x\sim x,\ln(1+x)\sim x$
$e^x-1\sim x,a^x-1\sim x\ln a,1-\cos x\sim \frac{1}{2}x^2$
$(1+x)^a-1\sim ax$
$\color{red}{u\to 1,\ln u=\ln (1+(u-1))\sim u-1}$
$\color{red}{f(x)\to 0,g(x)\to 0,e^{f(x)}-e^{g(x)}=e^{g(x)}[e^{f(x)-g(x)}-1]\sim f(x)-g(x)}$

关于泰勒展开应该展开到多少次方：

$\frac{A}{B}$ 型：最好要满足“上下同阶”的原则
$A-B$ 型：最好满足“幂次最低”原则，即将A，B分别展开到它们的系数不相等的x的最低次幂为止

归结原则：
$\lim_{x\to x_a}f(x)=A$ 存在 $\iff\forall \lbrace X_n\rbrace\to x_a,\lim_{n\to\infty}f(X_n)=A$ 存在

" $\Leftarrow$ "用于证明极限不存在
" $\Rightarrow$ "用函数极限计算数列极限

例题：
求 $\lim_{n\to\infty}(n\tan\frac{1}{n})^{n^2}$
构造函数 $f(x)=(\frac{\tan x}{x})^{\frac{1}{x^2}}=e^{\frac{\ln\frac{\tan x}{x}}{x^2}}$
$\lim_{x\to 0}f(x)=e^{\frac{\tan x-x}{x^3}}=e^{\frac{1}{3}}$
取 $X_n=\frac{1}{n},n\to\infty$ ，由归结原则得：
$\lim_{n\to\infty}f(X_n)=\lim_{n\to\infty}(n\tan\frac{1}{n})^{n^2}=e^{\frac{1}{3}}$

函数极限的类型：
$\begin{cases} \frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty\\ \infty-\infty,提取公因式、有分母则通分、和差化积\\ \infty^0,0^0,1^{\infty},幂指函数 \end{cases}$

第二部分函数的连续性

[注]：函数的连续和间断是逐点的概念

讨论连续与间断的一个前提是函数在 $x_0$ 的去心邻域内有定义

连续点： $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ ，则称函数f(x)在点 $x_0$ 附近连续

间断点：

可去间断点： $\lim_{x\to x_0}f(x_0)\ne f(x_0)$ ，或者f(x)在 $x_0$ 处没有定义
*：可去间断点也称为可补间断点，因为只要修改或者补充 $f(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x)$ 就可使其在 $x_0$ 处连续
跳跃间断点：若 $x_0$ 处的左右极限都存在，但是 $\lim_{x\to x_0^+}f(x)\ne \lim_{x\to x_0^-}f(x)$ ，则称这类间断点为跳跃间断点
*：可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点
无穷间断点： $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$
振荡间断点：若 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 振荡不存在，则称这类间断点为振荡间断点，比如 $\lim_{x\to 0}\sin\frac{1}{x}$
*：无穷间断点和振荡间断点都属于第二类间断点

在讨论函数的连续和间断的时候通常只需要考虑分段函数的分段点和函数的无定义点

例题：
设函数 $f(x)=\frac{\ln |x|}{|x-1|}\sin x$ ，则f(x)的函数连续性情况是
此函数在x=0和x=1处无定义
$\lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}\frac{\ln x}{x-1}\sin x=\lim_{x\to 1^+}\frac{x-1}{x-1}\sin x=sin 1$
$\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}\frac{\ln x}{-(x-1)}\sin x=\lim_{x\to 1^1}\frac{x-1}{-(x-1)}\sin x=-sin 1$
所以f(x)在x=1处为跳跃间断点
$\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}\ln |x|\sin x=0$
所以f(x)在x=0处为可去间断点