实分析笔记(1.4)集合的等价,基数

这一部分内容在数学文化——集合论与数学基础一文中已经有所涉及，本文则是用实分析更加严谨的语言来描述集合的等价和基数的概念。

基本定义

集合等价:若在集合 $A$ 与集合 $B$ 之间存在一个双射(也叫完全一一映射)，则我们称 $A$ 和 $B$ 等价，记为 $A\sim B$ .
例如若 $a<b,f(x)=a+(b-a)x$ ，则 $f:[0,1]\rightarrow [a,b]$ 是一个双射，所以 $[0,1]\sim[a,b]$ .
又如： $g(x)=tan\ x$ ,则 $g:(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi}{2})\rightarrow R$ 是一个双射，所以 $(-\frac{\pi }{2} ,\frac{\pi }{2})\sim R$ .
“等价”是数学中十分常用的一个概念，读者可以尝试验证等价关系的三条性质：
(i)自反性：对任何集合 $A$ 有 $A\sim A$ ;
(ii)对称性：若 $A\sim B$ ,则 $B\sim A$ ;
(iii)传递性：若 $A\sim B$ 且 $B\sim C$ ,则 $A\sim C$ .

定理：设 $\{A_{\lambda}:\lambda\in \Lambda \}$ 是一个两两不相交的集族， $\{B_{\lambda}:\lambda\in \Lambda \}$ 也是一个两两不相交的集族.若对每一个 $\lambda\in \Lambda$ 有 $A_{\lambda}\sim B_{\lambda}$ ,则 $\cup\{A_{\lambda}:\lambda\in \Lambda \}\sim \cup\{B_{\lambda}:\lambda\in\Lambda\}.$ 证明：由条件，对每一个 $\lambda\in\Lambda$ ,令 $f_{\lambda}:A_{\lambda}\rightarrow B_{\lambda}$ 是双射。现在对每个 $x\in\cup\{A_{\lambda}:\lambda\in\Lambda\}$ ,有且只有一个 $\lambda\in\Lambda$ 使 $x\in A_{\lambda}$ ,此时就定义 $f(x)=f_{\lambda}(x),\ \ x\in A_{\lambda},\lambda\in \Lambda$ 易知 $f:\cup\{A_{\lambda}:\lambda\in \Lambda \}\rightarrow \cup\{B_{\lambda}:\lambda\in\Lambda\}$ 是一个双射.定理证毕.

当然，除了 $A\sim B$ ,有时也用 $card(A)=card(B)$ 表示 $A$ 与 $B$ 等价,其中 $card(A)$ 和 $card(B)$ 分别称为 $A$ 与 $B$ 的基数或者势.这样“两个集合有相同的基数”是两个集合等价的另一种说法。

有限集，无限集，可数集

若有正整数 $n$ ,使集合 $A$ 与 $\{1,2,...,n\}$ 等价，则称 $A$ 为有限集;否则称 $A$ 为无限集.特别地若 $A\sim N$ (正整数全体)，则称 $A$ 为可数集。很明显，为了使 $A$ 可数，充分必要条件是 $A$ 中的全体元素可以排列成 $a_1,a_2,...,a_n,...$ 的形状。
有限集和可数集统称为至多可数集.

定理：(i)任何一个无限集必包含一个可数集；
(ii)可数集的任一无限子集是可数集；
(iii)至多可数个可数集的并是可数集.
证明(i)设 $A$ 为无限集.取 $a_1\in A$ ,则 $A-\{a_1 \}$ 是无限集。取 $a_2\in A-\{a_1 \}$ ,则 $A-\{a_1,a_2 \}$ 是无限集.再取 $a_3\in A-\{a_1,a_2\}$ ，如此等等.于是就得到 $A$ 的一个可数子集 $\{a_1,a_2,...,a_n,... \}$ .
(ii)设 $E$ 是可数集 $A=\{a_1,a_2,...,a_n,...\}$ 的一个无限子集.令 $n_1=min\{n:a_n\in E\}$ $n_2=min\{n:a_n\in E且n>n_1 \}$ $n_3=min\{n:a_n\in E且n>n_2 \}$ $\cdots \cdots \cdots \$ 由于 $E$ 是无限集，故按照上述方式得到无限个正整数 $n_1<n_2<\cdots <n_k<\cdots$ .易知 $E=\{a_{n_1},a_{n_2},\cdots,a_{n_k},\cdots\},$ 这是一个可数集.
(iii)我们仅对 $\{A_n\}_{n\geq1}$ 是可数个两两不相交的可数集的情形来证 $\cup_{n=1}^{\infty}A_n$ 可数.此时对每一个 $n\geq1$ ,令 $A_n=\{a_1^{(n)},a_2^{(n)},\cdots,a_k^{(n)},\cdots\},\ \ n=1,2,\cdots$ 现在对每一个 $m\geq1$ ,令 $B_m=\{a_m^{(1)},a_{m-1}^{(2)},\cdots,a_1^{(m)}\},$ 则很明显 $B_m$ 是有限集, $\cup_{m=1}^{\infty}B_m$ 是可数集。但是 $\cup_{n=1}^{\infty}A_n=\cup_{m=1}^{\infty}B_m$ ,所以 $\cup_{n=1}^{\infty}A_n$ 是可数集.定理证毕.
注记：(iii)的证明方式被称为对角线法则，虽然直观上并不容易理解，但是在 $Rudin$ 的《数学分析基本原理》一书中给出了更为直观的理解.下图就是 $Rudin$ 书中的配图：简单来说就是第 $n$ 行就是第 $n$ 个可数集的排列，按照图中箭头的顺序就可以排成一列.当然这里不难发现，从左上到右下第 $m$ 个箭头穿过的数其实就是证明过程中的 $B_m$

阵列

推论：有理数全体是可数集
证明：对于每一个是可数集，因此正有理数全体是可数集.于是负有理数全体也是可数集，因此有理数集(正有理数，负有理数和零的并)是可数集.

例题： $R$ 任一两两不相交的开区间族 $\{{I_{\lambda}}\}_{\lambda\in \Lambda}$ 中的元至多可数.
事实上对每一个 $\lambda\in\Lambda$ ,可取 $I_{\lambda}$ 中的有理数 $r_{\lambda}$
.由于 $\{I_{\lambda }\}$ 中的元两两不相交，因此当 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 时 $r_{\lambda_1}\neq r_{\lambda_2}$ .这样 $\{I_{\lambda }\}$ 与有理数的一个子集等价,我们上面已经证明了有理数是可数的因此有理数的子集至多可数。故 $\{I_{\lambda}\}$ 中的元至多可数.

实分析笔记(1.4)集合的等价,基数

基本定义

有限集，无限集，可数集

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