EulerProject.png
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84、大富翁
大富翁的标准棋盘大致如下图所示：
Monopoly.png
从标记有GO的方格出发，掷两个6面的骰子，并将所得的点数之和，作为本轮前进的步数。如果不附加其它规则，玩家玩过很多轮以后，落在每一格上的概率应该都接近2.5%。但是，由于G2J(入狱)、CC(宝箱卡)和CH(机会卡)的存在，这个概率分布会有所改变。
除了落在G2J上，或者在CC或CH上有可能抽到入狱卡之外，如果玩家连续3次都掷出两个一样的点数，例如玩家连续三次掷出的分别是(3,3),(1,1),(5,5)，则在第三次时不会前进5+5=10步，而是直接入狱。
游戏开始时，CC和CH中的牌将被随机打乱。当一个玩家落在CC或CH上时，他们从CC和CH卡中的最上方取一张牌并按照牌面意思前进，并将该牌再放回牌堆的最下方。宝箱卡和机会卡都各有16张牌，因为我们只关心会影响到移动的牌，其它牌无效。宝箱卡和机会卡的牌见下面：
-
宝箱卡 (2张牌，其他14张无效):
回到起点GO
进入监狱JAIL -
机会卡 (10张牌，其他6张无效):
回到起点GO
进入监狱JAIL
移动到C1
移动到E3
移动到H2
移动到R1
移动到下一个R(铁路公司)
移动到下一个R
移动到下一个U(公共服务公司)
后退三步
这道题主要考察停在某个特定方格上的概率。显然，除了停在G2J上的可能性为0之外，停在CH格的可能性最小，因为有5/8的概率玩家会移动到另一格。这里不区分是被送进监狱还是恰好落在监狱，而且不考虑需要掷出两个相同的点数才能出狱的要求，而是假定进入监狱的第2轮就会自动出狱。
从起点GO开始，将方格依次标记00至39，我们可以将这些两位数连接起来表示方格的序列。
统计学上来说，3个停下概率最大的方格分别是：
JAIL(6.24%)：方格10
E3(3.18%)：方格24
GO(3.09%)：方格00。
这三个方格可以用一个6位数字串表示为：102400
上面的可能性是在用两个6面骰子的情况下得到的，现在改用两个4面的骰子，求出3个停下概率最大的方格构成的6位数字串。
Python3解答
import numpy as np
import random
#计算随机数
def Comnum(num, count):#计算几个几面色子的随机数
numlist = []
st = 0
while st < count:
numlist.append(random.randint(1, num))
st += 1
return numlist
#CH卡
chlist = list(np.array([0, 10, 11, 24, 39, 5, 99, 99, 999, 9999] +[99999] * 6)[random.sample(range(16), 16)])#99999代表无效牌，随即洗牌
chdict ={7: [15, 12], 22: [25, 28], 36: [5, 12]}
#CC卡
bxlist = list(np.array([0, 10] +[99999] * 14)[random.sample(range(16), 16)])#99999代表无效牌，随即洗牌
bxdict = [2, 17, 33]
#定义取卡放卡后的函数
def Card(exlist):
return exlist[1:] + [exlist[0]]#取完牌，将牌放在最下面
#计数字典
countdict = {kk : 0 for kk in range(40)}#每个数字代表一个方格
#开始模拟
start = 0
jailsign = 0
monitimes = 10000#模拟的次数
for moni in range(monitimes):
#开始随机数
randomlist = Comnum(4, 2)#计算2个4面色子的随机数
sezi = sum(randomlist)#计算前进的步数
if randomlist[0] == randomlist[1]:
jailsign += 1
else:
jailsign = 0
if jailsign >= 3:#连续三次掷出相同的点数
countdict[10] += 1#JAIL
start = 10
else:
busu = (sezi + start) % 40
if busu == 30:#G2J
countdict[10] += 1#JAIL
start = 10
else:
if busu in bxdict:#CC card
if bxlist[0] == 99999:#Stop Moving
countdict[busu] += 1
start = busu
else:
countdict[bxlist[0]] += 1
start = bxlist[0]
bxlist = Card(bxlist).copy()
elif busu in chdict:#CH card
if chlist[0] == 99:#next R
nnum = chdict[busu][0]
elif chlist[0] == 999:#next U
nnum = chdict[busu][1]
elif chlist[0] == 99999:#Stop Moving
nnum = busu
elif chlist[0] == 9999:#Backward 3
nnum = busu - 3
if nnum == 33:#CC card
if bxlist[0] != 99999: # Stop Moving
nnum = bxlist[0]
bxlist = Card(bxlist).copy()
else:
nnum = chlist[0]
countdict[nnum] += 1
start = nnum
chlist = Card(chlist).copy()
else:
countdict[busu] += 1
start = busu
#选择前n个最大的值，并且输出字符串
def Str(exdict, N, M):
sdict = sorted(exdict.items(), key = lambda x: x[1], reverse = True)
ncount = 0
strkey = ''
while ncount < N:
item = sdict[ncount]
if len(str(item[0])) < 2:
strkey += '0%s'%item[0]
print('0%s ：%.4f%%\n'%(item[0], exdict[item[0]] / M * 100))
else:
strkey += '%s' % item[0]
print('%s ：%.4f%%' % (item[0], exdict[item[0]] / M * 100))
ncount += 1
return strkey
print('模拟完毕后，每个方格的停留次数：%s'%countdict)
print(Str(countdict, 3, monitimes))
答案：
模拟完毕后，每个方格的停留次数：{0: 276, 1: 185, 2: 148, 3: 201, 4: 217, 5: 275, 6: 208, 7: 80, 8: 198, 9: 218, 10: 762, 11: 212, 12: 250, 13: 246, 14: 302, 15: 380, 16: 309, 17: 287, 18: 293, 19: 289, 20: 308, 21: 301, 22: 113, 23: 280, 24: 356, 25: 304, 26: 256, 27: 258, 28: 281, 29: 296, 30: 0, 31: 293, 32: 225, 33: 225, 34: 248, 35: 181, 36: 75, 37: 197, 38: 216, 39: 251}
#3个停下概率最大的方格：
10 ：7.6200%
15 ：3.8000%
24 ：3.5600%
#6位数字串：
101524
