同一个密钥可以同时用作信息的加密和解密，这种加密方法称为对称加密。
1975年以前，世界上所有的加密方式都是基于这种的加密方式进行加密。
然而这种对称加密方法的最大问题在于，不管说是发送方还是接收方，这两端都完完全全了解这个密码是个怎么加密与解密的。 所以说第三方如果有心的话，他可以去入侵这两端中的任意一端，他只要成功拿到这个解码或者编码的过程，他就可以破译这个密码。 所有的加密内容对他来说就是没有意义的。
1975年的时候呢，就有人提出一个观念 公钥 ( public key ),这个观念之所以在密码学上是一大进步的原因在于，这个时候，全世界知道怎么解这个密码的人，只有我一个人，我的接收方，我的亲戚朋友，他们拿到的都是公钥。 他们拿到公钥后，等于说是知道了怎么去做这个密码，但是他们没有私钥的情况下是不知道怎么去解这个密码的， 私钥牢牢地掌握在我的手里。 只要我私钥不被窃取，整个加密就是安全的。
公钥与私钥只是一个想法，怎么样去落实呢？
数学家们已经想到了一个方法，就是利用质数的同余的性质
p和q都是代表质数，p和q是很大很大的质数， 那么p*q呢就会变成一个很大很大的数m
请注意，如果我们知道p和q，想要得到m很容易，但是如果我们不知道p和q，想要从一个很大很大的数m中反推出p和q是极端极端困难的，在数学上面，截至目前，都没有找到大数分解的一般算法。
对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。假如有人找到一种快速因数分解的算法的话，那么用RSA加密的信息的可靠性就肯定会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA钥匙才可能被强力方式解破。到目前为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。只要其钥匙的长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。
RSA 公钥演算法
我们接下来要介绍的这种RSA公钥演算法，是在1977年由MIT的三位数学家提出来的。
Ron Rivest 、 Adi Shamir 、 Leonard Adleman
这三位数学家为公钥演算法找到的一个法宝，就是同余。
我们知道，传统的密码演算法，有点像是函数之间的映射关系。
也就是说呢，我在这边找到一个明文，我通过某种加密方式得到密文，将密文发送给接收方，接收方再进行反演算法，推出的原文。
但是同余的观念完全不是这个样式，同余的观念有点像是一个单方向的转盘，它只能往这边转，不能倒过来转。
什么意思呢？ 就是说，我取两个数相乘，模掉19，比如说余数是5， 因为无穷多个自然数相乘模掉19都可能同余5 （mod 19）， 所以由同余5 （mod19 ） 反过来推哪两个数相乘，是推不出来的。
所以说RSA公钥演算法，最重要的关键就是它事先透过一种更抽象的分析，我分析说我要再多转几次就可以把原来的资讯转回来。
因为同余就是一种圆运算。 转转转转转，终有一天会把你转回来。
废话这么多，下面就开始正式介绍 RSA公钥演算法。
第一步呢，先找两个非常非常大的质数，p和q，
第二步，p和q相乘得到一个很大很大的数N
下面引入一个很重要的函数,欧拉函数，就是 φ(n)=(p-1)(q-1)
这个φ(n)表示不大于N，并且与N互质的自然数的个数。
以6来举例，
6=2x3
φ(n)=(2-1)(3-1)=2
比6小，并且与6互质的自然数 1，2，3，4，5中 只有1和5，
2个
有了这个 φ(n)之后呢，我就能找到一个 e小于 φ(n)，使得e与φ(n)互质。
以21来举例
21=3*7
φ(n)=(3-1)(7-1)=12
表示比21小，并且与21互质的自然数由12个，
分别是 1，2，4，5，8，10，11，12，13，17，19，20
那么我这里就能找到一个5，比φ(n)小，并且与φ(n)互质。
找到e和φ(n)之后， 因为e和φ(n)互质，那么由辗转相除法，我就一定能找到x和y，使得下面等式成立：
ex-φy=1
举例
5和12互质， 那么我就一定能找到x和y使得上面 ex-φy=1 等式成立
5*5-2*12=1
3和7互质
3*5-2*7=1
等等...
这是一个定理。
RSA公钥演算法的精髓就在上面这个等式里面:
ex=1+(p-1)(q-1)
在这个等式里面，x就是我的私钥，我对外发布的公钥是N和e，至于y管都不用管
私钥是只有我一个人才有的，我装在裤衩里任何人都不给看。
公钥等同于说是我向外发出去的一本配钥匙指南，公钥任何人都能看到。
我对外发布N和e，我自己手中留有的是x
实物上的运作
假设你朋友想要发送一段信息给你，这段信息经过编码后呢，就会变成一串数字 A， 什么叫公钥，公钥就是全世界都看得到的两个数字，e和N ，你朋友拿着你给他的公钥e和N，将数字A进行e次方运算， 再去模N，
（前面提到，这个N是个非常非常大的数。由p*q得到。）
你朋友得到这个R之后，全世界的人都知道这个R，也都知道N和e,但是反推出来A是不可能的，因为他们没有私钥，私钥x在你手上。 同余的运算更像是单方向的转盘，抽象理解没有私钥的情况下就不知道转到哪一波，从而就无法得知这个A
你朋友运算后得到的余数 R，将R发送给你，那么你拿出你的私钥x, 将你朋友发送给你的这个R进行x次方运算，再去模掉N，得到的余数A就是你朋友想要发送给你的信息。
实例
在上面的实例中，我找到了一组公钥与私钥，我自保留着私钥x，就是上面的2753，任何人都不给。
我对外发布的是公钥 e和N，这个e和N是全世界的人都能看到的。
如上图所示，A=123是我朋友想要传递给我的信息，经过我的公钥加密后，变成了 855， 我这边通过私钥解密后得到了信息123
（图中蓝色的是公钥，红色的是私钥。）
证明过程，下回分解！
