希尔伯特曾经说过：没有任何问题可以像无穷那样深深地触动人的情感，很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想，然而也没有任何其它的概念能像无穷那样需要加以阐明。
发现自由落体规律的伽利略曾经提出个困扰他的问题：自然数和完全平方数，哪个数量多？通常情况下，整体数量是大于部分的，完全平方数是自然数的一部分，很明显，自然数比完全平方数要多，可是：
1→1
2→4
3→9
4→16
……
每个完全平方数都与一个特定的自然数一一对应着，那不就是一样多了吗？
这个问题直到200年后才由康托尔解决，德国数学家康托尔，定义了集合论并给了这个问题解答。
他从基本概念入手，什么是一样多？只要两个事物之间存在一一对应的关系，那么这两个事物数量就是一样的，换成集合语言是：两个集合中的元素存在一一对应，那么这两个集合就相等。
按他的思路，这个问题异常简单，一个自然数和它的平方一一对应，所以，自然数和完全平方数一样多。
在数海中，偶数和自然数一样多；奇数和自然数一样多……在几何中，一截线段上的点和一半圆上的点一样多，和整个空间内的点也一样多……这些问题只要你找到一一对应就可以了。
德国著名数学家希尔伯特曾经对无穷给予很大的兴趣，也举了很多有意思的例子。
实际生活中的旅馆，无论多么大，无论有多少房间，一旦住满了，再来客人只能拒之门外了。客人们只有去别的旅馆入住了。那么试想一下，如果有一家旅馆，有无穷多的房间，房间的号码从1,2,3,4……排列，用尽了自然数。现在客人住满了，又来了一位，怎么办呢？
希尔伯特说：可以解决。
1号房间的客人去2号放间，2号房间的客人去3号，3号房间的客人去4号，……依次类推，1号房间就空出来了。原来的客人也都有地方入住了。
这个事情后来有了很多的演绎。
现在如果来看一批无穷多的旅客！希尔伯特仍然可以妥善安排。
老住户都进偶数号房，1号去2号，2号去4号，3号去6号，4号去8号……
奇数号房间空出来了，新住户都进奇数号房。就是新来的客人和自然数一样多，仍然住得下。
所以，无穷个房间和有限个房间就是这样的不同，可以说，无论多少个旅客在希尔伯特的旅馆里都能得到房间休息。
整数分数谁多
在数轴上，整数稀稀拉拉，分数星罗棋布，比如任意两个整数之间就没有整数了，却有无数个分数，似乎，分数比整数多。其实，整数和分数一样多的，也可以找到对应关系，时间有限，先发这些~~~
