经典波动方程推导过程

看到这个一个非常有趣，简单明白的经典波动方程推导过程文章（见“如何从麦克斯韦方程组推出电磁波？见证奇迹的时刻（近1.5万字）” https://c.m.163.com/news/a/G5KSDVLS0511A3AG.html?spss=newsapp），对其过程进行了一个整理。可以作上述这边非常好的科普文章的补充读物。
核心：利用牛顿第二定律（著名的 $F = ma$ ）中进行的一个动力学系统建模过程。思想实验中，假设一根理想绳子在力的作用下波动。首先，进行受力分析回应 F。其次，一个机械波中理想的媒介其具有均匀性，故一小段的质量 m 可以通过横断面的质量 μ 乘以绳子长度来获得，回应了 m ，这个 m 在最后的波动方程中可以通过张力被消掉。再次，加速度 a 从其量纲／单位来看是位移 x 对时间 t 取二阶导数，因此对 a 的寻找就替换为对 x 和 t 的分析。最后，把找出的 $F ,m ,x ,t$ 这些因素直接带入牛顿第二定律里面去就得到经典理论中的波动方程。作为动力学方程，一个是有力，还有一个是有时间，波的运动本身也是在时间中进行，因此，方程（含有未知数的等式）建立的是(偏)微分方程。形式一定为 f(x,t)。动力学方程中创建过程中，一定是在“Δt 时间内”状态变化进行建模的，微分方程建模也是这个套路。

一、力 F 的分析

微观上在机械波媒介上抽象出一个点进行受力分析，得到力在机械波媒介上每一个点上受的力大小相同，方向不一样；宏观上定性分析波在时间上面的周期性。
对一个波上质点进行受力分析时候只关注力分解后力的纵向部分，是物理学中的理想化和简化分析的常用方法。竖直向上合力 $F =(T·sin(θ+Δθ)-T·sinθ)$ ,其中 T 为张力.
建立周期性方程时候波向右移动了一个周期 ω，我们使用波动方程表达的则是 f(x - ω)，而不是 f(x + ω) 。这个过程实际上是在把坐标向右平移，因此使用减法，是变换坐标方法。想想看圆心为 (a,b)，半径为1的圆，其方程不也是 $(x-a)^2 + (x-b)^2 = 1$ 。

二、质量 m 分析

为了简洁和方便，都是把绳子假设为各处密度一样，横截面积处处相同。
有了以上假设，使用求定积分中常用用的“元素法/面积法”来构造 m 。方法是 Δx 围着合成的近似面积 $dA$ 关于 x 的函数 f(x) 作为被积函数就可以得到 m 。在最后的波动方程中，整理后会出现 $\frac{m}{T}$ 这一项，T 是 m 的函数，故 m/T 可以消掉质量 m 。可以得到 $m = μ·Δx$ ，μ 就是我们要寻找的面积元素。

三、加速度 a 分析

在一段Δt时间内进行分析，两个相邻点位移Δy对变动时间Δt求二阶导数就可以了。
波动函数为 f(x,t)，故 $a =\frac{ ∂^2f}{∂t^2}$

四、建立动力学的波动方程

将 F、m、t分别带入 F = ma 中，就得到动力学方程，包括社会科学类系统动力学系统中，我们在建立动力学方程时，都是在 Δt时间内定义状态变化情况，然后形成(偏)微分方程。

五、优化波动方程让形式优美

波的位移 x 的函数。通过波上两个相邻点进行分析，两个相邻点位移Δx 和切线角度Δθ变化得到动态过程，然后取极限。
在拉力 T 形成的力 F 中，带有 sinθ，而tgθ的几何意义是斜率，是波的图像点 $(x,f(x))$ 对应的位移变化方向角度θ 的正切值。波动函数 f 对 x 求导数就是tgθ。如果有的话就能简化方程。现在就需要将 sinθ 变成 tgθ了。这个过程中利用了等价无穷小的性质。 $tgx～x,sinx～x$ ,所以 $sinθ～tgθ$ ,当 $Δx\rightarrow 0$ 时， $Δθ\rightarrow 0$ ，故在波动力学方程中可以使用 tgθ替代 sinθ。经过整理，简洁、优美、易记的波动力学（二阶微分）方程就出来了。

对于经典公式，一定要理解其推导（物理）或者证明（数学）过程，这样才能更深刻地了解其背后深刻的原因和影响，也很有趣。经典物理中，牛爵爷真是了不起。加入了量子效应的薛定谔方程的是怎样推导的，这个过程一定非常有趣。

最后编辑于：2022.11.28 03:22:31

经典 波动方程 推导过程