2022-01-17

求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\ln (1+x)}{x}\right]^{\frac{1}{e^{x}-1}}$ （2011考研数学真题，数学一，选择题，第15题，满分10分）★

【分析】此题主要考查幂指函数类型的极限，通常两种解题思路，法一凑重要极限公式即 $\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e \text { 或 } \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e$ ，法二幂指函数转化为指数类型 $f(x)^{g(x)}=e^{g(x) \ln f(x)} .$

【解析】（法一凑重要极限公式）

$\begin{aligned} &\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\ln (1+x)}{x}\right] \frac{\frac{1}{e^{x}-1}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0}\left[1+\frac{\ln (1+x)}{x}-1\right] \frac{1}{e^{x}-1} \\ &=\lim _{x \rightarrow 0}\left[1+\frac{\ln (1+x)}{x}-1\right]\left[\frac{1}{\frac{\ln (1+x)}{x}-1}\right]^{\left[\frac{\ln (1+x)}{x}-1\right] \frac{1}{e^{x}-1}} \\ &=e^{\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\ln (1+x)}{x}-1\right] \cdot \frac{1}{e^{x}-1}}=e^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x}{x^{2}}} \\ &=e^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right)-x}{x^{2}}}=e^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right)}{x^{2}}}=e^{-\frac{1}{2}} . \end{aligned}$

（法二幂指函数转化为指数形式）

$\begin{aligned} &\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\ln (1+x)}{x}\right]^{\frac{1}{e^{x}-1}}\left(1^{\infty} \text { 类型 }\right) \\ &=\lim _{x \rightarrow 0} e^{\frac{1}{e^{\frac{1}{2}-1}-1}\left[\frac{\ln (1+x)}{x}\right]} \text { (幂指函数转化为指数形式) } \\ &=\lim _{x \rightarrow 0} e^{\frac{1}{e^{2}-1} \ln \left[\frac{\ln (1+x)}{x}+1-1\right]} \text { (等价无穷小替换) } \\ &=\lim _{x \rightarrow 0} e^{\frac{1}{e^{2}-1}\left[\frac{\ln (1+x)}{x}-1\right]} \text { (等价无穷小替换, 通分) } \\ &=\lim _{x \rightarrow 0} e^{\frac{1}{x}\left[\frac{\ln (1+x)-x}{x}\right]} \text { (泰勒展开, 当然此处也可以用洛必达法则 } \\ &=e^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right)-x}{x^{2}}} e^{\frac{1}{x}\left[\frac{\ln (1+x)-x}{x}\right]}=\lim _{x \rightarrow 0} e^{\frac{1}{1+x}-1}=e^{-\frac{1}{2}} \text {.) } \\ &=e^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right)}{x^{2}}} \\ &=e^{-\frac{1}{2}} . \end{aligned}$

同学们在做的过程中犯了下面几点错误:

（1）不知道要化成以e为底的指数函数的形式或不清楚幂指函数转化为指数形式，无从下手；

（2）在用泰勒公式求解时，把泰勒展开式给记错了；

（3）在用泰勒公式求解时，把泰勒展开式忘记高阶无穷小部分 $=e^{\lim \frac{x-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right)-x}{x^{2}}}=e^{\lim \frac{x-\frac{1}{2} x^{2}-x}{x^{2}}}$ ；

（4）算到 $-\frac{1}{2}$ 后忘记回带入原式子或者忘记了是 $e^{-\frac{1}{2}}$ ；

（5）对极限的某一部分进行等价无穷小替换。注意:在计算极限时，根据四则运算法则，整体极限存在不代表部分极限存在，所以不能对部分函数极限进行等价无小替换；

以上是有些同学错误情况到大家可以参考，自已在算极限时有没有犯过类似的错误。

2022-01-17

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