归一化输入（Normalizing inputs）
训练神经网络，其中一个加速训练的方法就是归一化输入。假设一个训练集有两个特征，输入特征为2维，归一化需要两个步骤：
1.零均值
2.归一化方差；
我们希望无论是训练集和测试集都是通过相同的μ和σ^2定义的数据转换，这两个是由训练集得出来的。
第一步是零均值化
它是一个向量，x等于每个训练数据 x减去μ，意思是移动训练集，直到它完成零均值化。
第二步是归一化方差，
注意特征x_1的方差比特征x_2的方差要大得多，我们要做的是给σ赋值
这是节点y 的平方，σ^2是一个向量，它的每个特征都有方差，注意，我们已经完成零值均化，(x^(i)^2元素y^2就是方差，我们把所有数据除以向量σ^2，最后变成上图形式。
x_1和x_2的方差都等于1。
提示一下，如果你用它来调整训练数据，那么用相同的 μ 和 σ^2来归一化测试集。
尤其是，你不希望训练集和测试集的归一化有所不同，不论μ的值是什么，也不论σ^2的值是什么，这两个公式中都会用到它们。所以你要用同样的方法调整测试集，而不是在训练集和测试集上分别预估μ 和 σ^2。因为我们希望不论是训练数据还是测试数据，都是通过相同μ和σ^2定义的相同数据转换，其中μ和σ^2是由训练集数据计算得来的。
我们为什么要这么做呢？为什么我们想要归一化输入特征，回想一下右上角所定义的代价函数。
如果你使用非归一化的输入特征，代价函数会像这样：
这是一个非常细长狭窄的代价函数，你要找的最小值应该在这里。
但如果特征值在不同范围，假如x_1取值范围从1到1000，特征x_2的取值范围从0到1，结果是参数w_1和w_2值的范围或比率将会非常不同，这些数据轴应该是w_1和w_2，但直观理解，我标记为w和b，代价函数就有点像狭长的碗一样，如果你能画出该函数的部分轮廓，它会是这样一个狭长的函数。
然而如果你归一化特征，代价函数平均起来看更对称，
如果你在上图这样的代价函数上运行梯度下降法，你必须使用一个非常小的学习率。
因为如果是在这个位置，梯度下降法可能需要多次迭代过程，直到最后找到最小值。但如果函数是一个更圆的球形轮廓，那么不论从哪个位置开始，梯度下降法都能够更直接地找到最小值，你可以在梯度下降法中使用较大步长，而不需要像在左图中那样反复执行。
当然，实际上w是一个高维向量，因此用二维绘制w并不能正确地传达并直观理解，但总地直观理解是代价函数会更圆一些，而且更容易优化，前提是特征都在相似范围内，而不是从1到1000，0到1的范围，而是在-1到1范围内或相似偏差，这使得代价函数J优化起来更简单快速。
实际上如果假设特征x_1范围在0-1之间，x_2的范围在-1到1之间，x_3范围在1-2之间，它们是相似范围，所以会表现得很好。
当它们在非常不同的取值范围内，如其中一个从1到1000，另一个从0到1，这对优化算法非常不利。但是仅将它们设置为均化零值，假设方差为1，就像上一张幻灯片里设定的那样，确保所有特征都在相似范围内，通常可以帮助学习算法运行得更快。
所以如果输入特征处于不同范围内，可能有些特征值从0到1，有些从1到1000，那么归一化特征值就非常重要了。如果特征值处于相似范围内，那么归一化就不是很重要了。执行这类归一化并不会产生什么危害，我通常会做归一化处理，虽然我不确定它能否提高训练或算法速度。
这就是归一化特征输入，下节课我们将继续讨论提升神经网络训练速度的方法。
