摘要：羅素悖論定義的“x不屬於x”有著明顯的錯誤：
1，不是按照“種加屬差”的正確方法定義x。
2，不是按照“不能採用否定判斷的定義”。
3，“x不屬於x”的定義違法了同一律。並且兩次定義“一切”違反了同一律。
4，語法錯誤，“x不屬於x”，前面x是主語，(主语是执行句子的行为或动作的主体，是句子中的陈述对象)後面x是謂語，（谓语是对主 语动作状态或特征的陈述或说明）前面主語x是“誰”“什麼”，後面謂語x“是什麼”，“不是什麼”。
關鍵字：悖論，定義。
（一），前言
英國人勃蘭特.羅素（Betrand Russell1872—1970）是二十世紀西方哲學界大師，年輕時曾經用10年時間完成三卷【數學原理】，後由數學進入哲學，到了孔子說的從心所欲而不逾矩的年齡，寫完【西方哲學史】。作為數學家哲學家的羅素在二戰後為什麼獲得諾貝爾獎文學獎？西方人通常按照地緣政治的角度解釋戰爭，拿破崙打過來脾斯麥打過去，戰爭、聯姻...無休止的幹下去。直到二戰結束，人們經過奧斯維辛集中營、達豪集中营之後，飽受蹂躪的歐洲人忽然明白，正是羅素預言的那樣——潛藏在人性中的邪惡才是災難的起因。羅素在他的著作中早有分析和預言，戰後倖存者讀起來無不心悅誠服。羅素的文筆非常漂亮，文風優美，就連一部【西方哲學史】寫得跟聊天似得，於是斯德哥爾摩的文學老爺們找到了理由。羅素的故事永遠談不完，我們就此停筆。而這個瘋子（實際上是個邏輯學白癡）給數學造成的麻煩形成了100年的恐慌，我們今天揭穿這個數學......。
（二），羅素悖論
羅素1903年構造了一個集合R，設R 為一切不屬於自身元素的集合所組成的集合（作者附言：這是第一次定義“一切”）。
羅素問：
R是否屬於R？（【中國大百科全書-數學】19頁）。
實際上羅素提出的是兩個命題：
【1】，R是屬於R。
【2】 ，R不是屬於R。
根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。
如果命題【1】的 R屬於R，根據R的定義，R就不屬於R（作者附言：如果“R屬於R”，這裏包含了第二次定義“一切”，“一切”的外延又擴大了）;
反之，如果命題【2】的 R不屬於R，同樣根據定義，R就屬於R。
無論如何都是矛盾的。
用數學語言表述羅素悖論: 設性質P(x)表示“x不屬於x”，現假設由性質P確定了一個類R，也就是說 :“ ”。
（三），問題出在羅素不懂什麼叫定義
1，什麼是定義
定義(Definition)，對於一種事物的本質特徵或一個概念的內涵和外延的確切而簡要的說明；或是透過列出一個事件或者一個物件的基本屬性來描述或規範一個詞或一個概念的意義;被定義的事務或者物件叫做被定義項，其定義叫做定義項。
2，羅素悖論定義中的錯誤
首先，羅素沒有按照“種加屬差”的正確方式定義概念（參見後面介紹的定義規則1）。
其次，在人類所有的科學語言中，從來沒有用否定的語言定義一個“普遍概念”。用否定判斷來定義“x不屬於x”的性質，是荒唐的。（參見定義規則第3條：不能夠用否定的判斷定義一個概念。比如說“人不屬於狗”，這樣說毫無意義，或者定義：“危險就是不安全”，“素數不是合數”等是沒有意義的）。
就是說，羅素的悖論在語法上是錯誤的。
3，違反了同一律
同一律是形式邏輯的基本規律之一，就是在同一思維過程中，必須在同一意義上使用概念和判斷，不能混淆不相同的概念和判斷。公式是:"甲是甲"或"甲等於甲"。同一律是形式邏輯的基本規律之一，就是在同一思維過程中，必須在同一意義上使用概念和判斷，不能在不同意義上使用概念和判斷。
“x不屬於x”就是違反了同一律。
並且，羅素悖論對“一切”這個全稱副詞的概念做了兩次定義，第一次定義是：
“設R 為一切不屬於自身元素的集合所組成的集合”。第二次定義是在回答第二個命題：“R不屬於R，同樣根據定義，R就屬於R”。兩次定義中採用了不同的範圍，隨意任意擴大“一切”的範圍，第二次定義的“一切”否定了第一次定義“一切”的範圍，增加了一個元素，屬於偷換概念。
同一律這一基本內容可以用公式表示為:A=A(或"A→A")
其主要表現在三方面:
(1)思維對象的同一。在同一個思維過程中，思維的對象必須保持同一;在討論問題、回答問題或反駁別人的時候，各方的思維對象也要保持同一。如果“x不屬於x”就無法進行合乎邏輯的討論。
(2)概念的同一。在同一個思維過程中，使用的概念必須保持同一;在討論問題、回答問題或反駁別人的時候，各方使用的概念也要保持同一。
(3)判斷的同一。同一個主體(個人或集體)在同一時間(相應的客觀事物處於相對穩定狀態時)，從同一方面對同一事物作出的判斷必須保持同一。同一律要求思維的確定性，但是並不否認思維的發展變化。它完全是對思維過程說的，並不要求客觀事物保持同一，絕對不變。
邏輯的“同一律”方面的內容中，應該包括“同一立場”和“同一時空的範圍”在裏面。
根據同一律的要求，違反同一律的邏輯錯誤有兩種:混淆概念或偷換概念，轉移論題或偷換論題。
（四），什麼是形式邏輯學中用“種加屬差”（或者稱之為“上概念加下概念差”）的方法給認識對象下定義
“種加屬差”定義法：當我們對一個概念——比如“素數”下定義時，首先要找到與這一概念最近的“種概念”（或者稱之“上概念”）——自然數，然後我們就可以說“素數是一種自然數。”了。但僅僅這樣說是不完整的。我們還必須找出“素數”這一“屬概念”（或者稱之為下概念），和“自然數”這一“種概念”的其他“屬概念”（合數，1）之間的“差異”（屬差）來，“素數”與“合數和1”之間的“屬差”是什麼呢？是“只能被自身和1整除”，從而我們得出“素數是大於1並且只能被自身和1整除的自然數”。這一完整定義。
（五），定義的規則：
1】，種概念和屬概念的外延要相稱。比如：你不能說“人是一種能製造生產工具的生物”，這就犯了“外延過寬”的邏輯錯誤，因為生物還包括植物。
2】，不能夠迴圈定義。比如，你不能說“蛋就是卵”。因為你也可以反過來說“卵就是蛋”，結果是誰也說明不了誰。
3】不能夠是否定的判斷。比如說“人不是狗”，“素數不是合數”這樣說毫無意義。
4】“屬差”應盡可能詳細確切。比如，關於人的定義最好這樣說：“人是能製造複雜生產工具的動物”。
西方邏輯學對於定義還有另外兩條規則：
5】定義不能是晦澀的、歧義的、或者比喻性的，例如”殆素数”就是充满歧意。如果一个词项的概念需要分类消除歧意，就必须明确分类，例如“亲兄弟”，有同父同母，同父异母，同母异父，乱伦产生的亲兄弟。
6】定義項不適合相關背景或者目的的外延是有缺陷的。
例如，“7是一個星期當中的天數”，因為事實上一個星期有7天，所以定義項是正確的外延，但是，這個定義沒有涉及到與既定用法聯繫在一起的屬性“比6多1”。一個人不需要知道一個星期有幾天就可以知道7的一般意義。作為一個理論定義，上述定義是有缺陷的。因為沒有挑出6與8之間的所有數字。
再例如，“三角形是我喜歡的幾何圖形”。因為“三角形”的確是我喜歡的幾何圖形，以這個定義適用於正確的外延。但是，“是我喜歡的幾何圖形”這一屬性並不適合於形成一個辭彙定義的背景。三角形的背景是：有三條邊或者有三個角的一個封閉的平面圖形。
所以，羅素定義“x不屬於x”是錯誤的，違反了定義規則。
不能使用否定的判斷。語法錯誤導致邏輯錯誤。
（六）， 命題【1】【2】都是荒唐的
【1】，R是屬於R。
【2】 ，R不是屬於R。
前面的“R”是主項，後面的“R”是謂項。
主語表示“誰”或者“什麼”，謂語說明“是什麼”“不是什麼”或者“怎麼樣”。
一個命題要求所有的概念，定義，圖像，函數沒有歧義，清晰準確。在R涵義不清楚的情況下，命題是無法證明的。羅素悖論是科學史上一次拙劣的鬧劇。
作為一個單句，要表現完整的意思，就必須清楚主語和謂語的關係。“R是否屬於R”是一個荒唐的鬧劇。對於一個句子，語義要貫通，層次要分明，語氣要流暢，句式要諧調。
數學的上面是邏輯學，邏輯學的上面是語言學。就是說，在學科的“食物鏈”，邏輯學站在數學的上端，語言學站在邏輯學的上端。所以，數學必須屈服於邏輯學，邏輯學必須屈服於語言學。
所以說，羅素悖論造成的數學危機不存在，是由於數學家的邏輯知識匱乏造成的。也說明羅素本人不懂邏輯學，至少是不精。
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