算法基本功：SVM part3 对偶问题 2019-03-03

给定一般不等式约束优化问题，f 不一定是凸函数。

$min_{x} f(x)$

subject to $h_i(x)\leq 0$

$l_j(x) = 0$

其对应拉格朗日函数：

L(x, u, v) = f(x) + $\Sigma _iu_ih_i(x)$ + $\Sigma _jv_jl_j(x)$

一定有：

1. 对任意x* 在可行解几何（C）内, 一定有 L(x*,u,v) <= f(x*) # 因为等式约束为0，不等式约束<=0

2. $f* \geq min_{x\in C} L(x,u,v) \geq min_{x} L(x,u,v) := g(u, v)$ ，其中g(u,v)叫做拉格朗日对偶函数，u>=0. (as in kkt)

总结重要性质1: 拉格朗日对偶函数为f* 提供一个下界， f*是不带约束条件的目标函数的最小值。

进而重要性质2: 对原始问题的求最小值等价于求对偶问题（下界函数）的最大值（因为对偶函数为f*提供下界）：

同样的一般不等式约束的优化问题：上述对应的对偶问题是：

$max_{u,v} g(u,v)$

subject to: u>= 0

弱对偶性一定成立，无论是否凸函数。

即重要性质1： f* >= g*

重要性质2: 对偶问题，一定是凸优化问题，无论原始问题目标函数是否为凸函数。

附强对偶性存在条件：

如果原始问题的目标函数以及不等式约束均为凸函数，

且至少存在一个x 使得不等式约束以及等式约束严格成立，

那么 f* = g*.

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