探索了勾股定理之后，我们知道了直角三角形它三边之间的关系，我们也证明出了勾股定理的逆定理，在这个过程中我们发现有一些奇特的整数，他们所组成三角形不用计算我们也知道这个三角形是直角三角形，比如（3，4，5）（5，12，3）（9，12，15）这样的数所组成的三角形一定是直角三角形。像这样的一组数我们叫做：勾股数
有这么多的勾股数，可我们要怎么知道这三个数是不是勾股数呢？每组勾股数之间又有什么规律呢？我们先观察一些勾股数：
（3，4，5）（5，12，13）（6，8，10）（7，24，25）……
但是光这样看我们看不出任何规律，那我们可不可以将这些勾股数分一下类，在找出每一类中勾股数的关系。我们看每一组数中最小的数，分别是3，5，6，7……我们可以将这些数分成两部类第一部类是：一组勾股数中最小值为奇数。第二部类是：一组勾股数中最小值为偶数。这次我们先看其中一类，第二类。
我们先将勾股数中最小值为偶数的勾股数列出来一些：
（6，8，10）（8，15，17）（10，24，26）（12，35，37）……
这样观察也不好直接看出规律，因为勾股数跟勾股定理有关系，而勾股定理是三角形三边平方之间的关系，那么勾股数之间的关系有没有可能也跟平方有关呢？通过观察，我们可以发现在第一组勾股数中8=3²-1，10=3²+1，而6=3×2。那我们再看下一组勾股数，在这组勾股数中也是15=4²-1，17=4²+1，8=4×2。同样后面的勾股数组中也可以发现这样的一个规律。所以我们可以得出一个猜想：当勾股数中的最小值为偶数时，勾股数中的另外两个数就分别等于最小值1/2的平方减1和最小值1/2的平方加1。可是这些只是一个特例，我们怎么把它变成一个普遍规律呢？
首先我们先用小写字母（a,b,c）（a为偶数）来表示一组勾股数。那么根据我们上面发现的规律， 可以用a表示b和c，那么b=（1/2a）²-1，c=（1/2a）²+1，那么我们要怎么证明 a，b，c是一组勾股数呢？如果a，b，c是一组勾股数，那么a²+b²=c²。过程如下图：
那么现在我们就证明了，当勾股数中的最小值为偶数时，勾股数中的另外两个数就分别等于最小值1/2的平方减1和最小值1/2的平方加1是一个普遍规律。这样的一组勾股数（a，b，c）（a为偶数）也可以表示为（a，（1/2a）²-1，（1/2a）²+1）（a为偶数）
那在我们探索完，勾股数中最小值为偶数的情况后，接下来我们需要探索的就是勾股数中最小值为奇数的情况，我们把勾股数中最小值为奇数的勾股数列出来
（3，4，5）（5，12，13）（7，24，25）（9，40，41）……
光这样看这些勾股数组，我们只能发现4+1=5，12+1=13 ，24+1=25……但是没有办法发现前两个数之间的关系，观察它们的平方，我们也发现不了其他的规律。因为我们不是第1个探索的人，已经有人探索过了，所以我们先借助一个式子来帮助我们进行探索。
每一组勾股数对应一个式子。
4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1）……
这样我们就发现勾股数组中的第2个数字等于第1个数字加1乘以某个数，那么到底乘以几我们如何知道呢？
通过观察我们可以发现。1=3×1/2-0.5，2=5×1/2-0.5，3=7×1/2-0.5……
那么现在我们就得到了一个猜想：勾股数中最小值为奇数时另外两个数就分别等于这个数的1/2与0.5的差乘以这个数与1的和，第3个数就等于第2个数加1。
但是这只是一个特例，我们要怎么证明它是一个普遍规律呢？我们用小写字母（a，b，c）（a为除1外的奇数）来表示这个勾股数组，我们就可以用a来表示b和c，
b=（1/2a-0.5）×（a+1）
c= b+1
证明过程如下
那么现在我们就证明了勾股数中最小值为奇数时另外两个数就分别等于这个数的1/2与0.5的差乘以这个数与1的和，第3个数就等于第2个数加1。一组勾股数（a，b，c）（a为除1外的奇数）也可以表示为（a，（1/2a-0.5）×（a+1），b+1）（a为除1外的奇数）
这样我们就把勾股数之间的关系探索完了。
