奇妙脑洞：复数理论和应用简介

这篇记录是我的一个学习随笔，行文仓促、语焉不详、没有作图，权当一个每日笔记。

数学的发展是一个逐渐扩展的过程。一开始人们发明了整数，然后发明了分数、负数、小数，认识到了 $\sqrt 2$ 这样的无理数存在，随着解析几何的发展，又出现了向量这种多元概念。而在在这个过程中，无论是对数还是对向量进行加减乘除运算的结果都是一个数。但是数学家们自然而然就会想到，如果运算结果是二元数会怎么样？如果做一个定义： $i=\sqrt {-1}$ 就可以得到对四则运算自洽的二元数代数体系。称 $z=a+bi$ 形式的数为复数，其中 $a \in R,b \in R$ .这时候可以对这样的数系进行加减乘除运算。这是16世纪人们做的一个自然的想象。

18世纪以高斯为代表的数学家定义了复数的“长度”和“角度”。怎么做到的呢？因为这样的二元数，我们可以把它当作一个向量画在直角坐标系上。这样的向量之间满足平行四边形法则，它的乘法实际上也类似于线性代数乘法的旋转+伸缩。

欧拉恒等式的几何证明（复数乘积的三角形法+单位圆）

这个视频是关于欧拉公式 $e^{\pi i}+1=0$ 的几何证明的，介绍了复数乘法在几何图形上的基本原理

而根据2-范数形式定义的复数的长度的公式是： $\vert z \vert =a^2+b^2$ ,这个式子可以写成另外一种形式 $\vert z \vert=z\bar {z}$ ,其中 $\bar{z}=a-bi$ .这个绝对值定义与实数域的绝对值在形式上不同，但其实思想是一致的。它会导出很多逻辑上自洽但是形式上令人困惑的式子，很容易让爱钻牛角尖的初学者纠结其中。

除了定义长度（模），还可以定义辐角，也就是这个向量到横轴（实数轴）的夹角 $\arg {z}$ ,并且分局简单的几何关系随之得出复数的三角表示法： $z=\vert z \vert (\cos \arg z +i \sin \arg z)$
同时根据欧拉公式，复数还有指数表示法， $z=\vert z \vert e^{i \arg z}$ 这里的 $\arg z$ 一般就直接写成了 $\theta$ ，意义是复数的辐角。
有了复数这个“二元数”以后，我们可以用它做很多事情。比如，对于 $f(x,y)=0$ 形式的曲线，可以通过下面的恒等式把它画成复数形式： $x=\frac{z+\bar{z}}{2} , y=\frac{z-\bar{z}}{2}$ 其他的解题步骤就不再一一介绍了。
而复数域的指数函数形式如下： $e^z=e^x(\cos y + i \sin y)$ 这为后面的傅立叶变换埋下了伏笔。当然，傅立叶变换是一个完整的学科，在信号与系统中有大量涉及，并不是本文的主题。
下面要引入几个重要概念。
首先定义复变函数的导数。
点可导： $f'(z)=lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$
区域可导： $f(z)$ 在区域内任意点可导。
然后定义解析函数的概念。
点解析： $f(z)$ 在 $z_0$ 及其领域内可导，就称为 $f(z)$ 在 $z_0$ 这个点解析。
区域解析： $f(z)$ 在区域内每一点解析，就称 $f(z)$ 在区域内解析。
若 $f(z)$ 在 $z_0$ 不解析，就称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的奇点。
解析函数的和、差、积、商和复合都是解析函数。函数可导和解析分别有充要条件如下，这个条件来源于流体力学。 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在 $z=x+iy$ 可导的充要条件是： $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 在 $(x,y)$ 可微，且在 $(x,y)$ 处满足条件 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$ ，此时有 $f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x}$
而函数解析的充要条件则是在点 $(x,y)$ 的领域内可微，其他条件都相同。注意，只要能说明u和v在点或者区域内具有一阶连续偏导数，那么他就在点或者区域内是可微的，这是数学分析告诉我们的知识。这时候只要再满足上述条件，就可以推出可导或解析性。
然后复变函数有一个重要的定理——柯西积分公式：设 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析， $c$ 为 $D$ 内任一正向简单闭曲线， $c$ 的内部完全属于 $D$ ， $z_0$ 为 $c$ 内任意一点，则 $\oint_c \frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi if(z_0)$
其中一个直接的推论是：
$\oint_c \frac{1}{(z- a)^{n+1}}dz=\begin{cases} 2\pi i, & n=0 \\ 0,& n \neq 0 \end{cases}$
怎样计算复变函数的积分呢？
1. $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处不解析，用一般积分法 $\int_c f(z) dz = \int_\alpha^\beta f[z(t)]z'(t)dt$
2. $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，
若 $c$ 是 $D$ 内的一条正向简单闭曲线，由柯西-古萨定理， $\oint_c f(z) dz=0$
若 $c$ 是 $D$ 内的一条非闭曲线， $z_1z_2$ 对应曲线 $c$ 的起点和终点，则有 $\int_cf(z)dz=\int_{z_1}^{z_2}f(z)dz=F(z_2)-F(z_1)$
3. $f(z)$ 在区域 $D$ 内不解析，
曲线 $c$ 内只有一个奇点：
$\left\{ \begin{aligned} \oint_c \frac{f(z)}{(z- z_0)}dz = 2\pi i f(z_0) \\ \oint_c \frac{f(z)}{(z- z_0)^{n+1}}dz = \frac{2\pi i}{n!} f^{(n)} (z_0) \end{aligned} \right.$
曲线 $c$ 内有多于一个奇点：
$\int f(z) dz= \sum_{k=1}^n \oint_{c_i}f(z)dz$
（ $c_i$ 内只有一个奇点 $z_k$ ）
或： $\int f(z) dz=2\pi i \sum_{k=1}^n \Re s[f(z),z_k]$ （留数基本定理）
若被积函数不能写成 $\frac{f(z)}{(z- z_0)^{n+1}}$ 形式，则须改用留数定理计算。
调和函数可以快速判断一个函数是否解析，这里不详细介绍。
复变函数的级数和泰勒展开可以推导出洛朗展开，利用展开成的洛朗级数可以求围线积分。
孤立奇点分为几种：可去奇点、极点和本性奇点。
下面介绍留数基本定理。
设 $f(z)$ 在区域 $D$ 内除有限个孤立奇点 $z_1,z_2,...,z_n$ 外处处解析， $c$ 为 $D$ 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则 $\oint_cf(z)dz=2\pi i \sum_{n=1}^\infty \Re s[f(z),z_n]$
留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数 $f(z)$ 在 $c$ 内各孤立奇点处留数的局部问题。
复变函数的应用积分变换，主要有傅立叶变换和拉普拉斯变换。本篇就不介绍了。

奇妙脑洞：复数理论和应用简介

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