微积分学习笔记-中值定理和基本定理

定理2 定积分的中值定理

如果f在 $[a, b]$ 上连续，则在 $[a, b]$ 中的某点c
$f(c) = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$

例1 求 $f(x) = 4 - x$ 在 $[0, 3]$ 上的平均值和给定区间f恰取这个值的点。

$av(f) = \frac{1}{3-0} \int_{0}^{3} (4 - x) dx = \frac{1}{3} (4x - \frac{1}{2}x^2)|^3_0 = \frac{5}{2}$
$x = 4 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2}$
所求的点为 $(\frac{2}{3}, \frac{2}{5})$

例2 零平均值

证明: 如果f是 $[a, b]$ 上的连续函数， $a \neq b$ , 又 $\int _a^b f(x) dx = 0$ ,则在 $[a, b]$ 上至少有一次 $f(x) = 0$
f在 $[a, b]$ 的平均值是
$av(f) = \frac{1}{b-a}\int _a^b f(x) dx = \frac{1}{b - a} . 0 = 0$
根据定理2， f在 $[a, b]$ 的某个点c取这个值。

定理3 微积分基本定理，部分1

如果f在[a,b]连续，则函数
$F(x) = \int_a^xf(t)dt$
在[a, b]的每个点有导数，且
$\frac{dF}{dx} = \frac{d}{dx} \int_a^xf(t)dt = f(x).$

例3 利用基本定理求

$\frac{d}{dx} \int _{-p}^{x} cos(t) dt$ 和 $\frac{d}{dx} \int_0^x \frac{1}{1 + t^2}dt$
解:
$\frac{d}{dx} \int _{-p}^{x} cos(t) dt = cos(t)$
$\frac{d}{dx} \int_0^x \frac{1}{1 + t^2}dt = \frac{1}{1 + t^2}$

例4 结合链式法则应用基本定理

若 $y = \int_1^{x^2} cos(t) dt$ , 求 $\frac{dy}{dx}.$
解: 设 $u = x^2$ ,使得y由
$y = \int_1^u cos(t) dt$ 和 $u = x^2$
复合而成，因此必须用链式法则求 $\frac{dy}{dx}$ .
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}.\frac{du}{dx} = (\frac{d}{du}\int _1^ucos(t) dt).\frac{du}{dx} = cosu . \frac{du}{dx} = 2xcosx^2$
例5. 求 $\frac{dy}{dx}$ .

$\frac{d}{dx} \int_x^5 3t sin(t) dt = - \frac{d}{dx} \int_5^x 3t sin(t) dt =-3x.sin(x)$
$\frac{d}{dx}( \int_{1+3x^2}^4 \frac{1}{2+t^2}) dt = \frac{d}{dx}(-\int_4^{1+3x^2}\frac{1}{2+t^2}dt) = -\frac{1}{2+(1+3x^2)^2}\frac{d}{dx}(1+3x^2) = -\frac{2x}{1+2x^2+3x^4}$
例6. 求一个函数 $y=f(x)$ ,它有导数 $\frac{dy}{dx} = tan(x)$
并且满足f(3)=6.
解:基本定理使得易于构造导数 $tanx$ 的函数
$y = \int_3^x tant dt$ 。
因为y(3)=0,可以构造出
$f(x) = \int_3^x tant dt + 5.$

定理3 微积分基本定理，部分2

如果f在[a, b]的每个点连续，而F是f在[a, b]的任何一个反函数，则
$\int _a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ .
基本定理的这一部分称为积分求值定理。

怎么求 $\int _a^bf(x) dx 的值?$

求f的一个反导数F。
计算F(b)-F(a)
这个数就是 $\int_a^bf(x)dx$ .

例7. 用反导数求 $\int _{-1}^{3}(x^3+1)dx$

解:
$\int _{-1}^{3}(x^3+1)dx = [\frac{1}{4}x^4 + x]_{-1}^{3} = (\frac{81}{4} +3) - (-\frac{3}{4}) = \frac{96}{4} = 24$

积分求值记号

F(b) - F(a)的通用记号是
$F(x)]_a^b$ 或 $[F(x)]_a^b$

如何求总面积？

用f的零点分割 $[a, b]$
在每个子区间上积分f
把积分的绝对值相加

例8. 求x轴和 $f(x) = x^3 - x^2 - 2x, -1 \le x \le 2$ 的图像之间的面积。
解 $f(x) = x(x+1)(x-2)=0$ , 得 $x = 0或x=-1或x=2$
(-1, 0)区间上，f(x)>0; （0,2)区间上，f(x) < 0.
总面积= $\int _{-1}^{0}f(x) dx +(-1)* \int_{0}^{2}f(x)dx$
= $\int _{-1}^{0}f(x) dx + \int_{2}^{0}f(x)dx$
= $[\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2]_{-1}^0 + [\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2]_{0}^2 = \frac{37}{12}$