二叉搜索树
二叉搜索树用来解决计算机中非常重要的基础问题——查找问题。
二分查找法
对于有序数列才能使用二分查找法。
// 二分查找法,在有序数组arr中,查找target
// 如果找到target,返回相应的索引index
// 如果没有找到target,返回-1
template<typename T>
int binarySearch(T arr[ ], int n,第三个参数) { //第三个参数是T加空格target，要分开写，简书莫名其妙的内容检测机制
// 在arr[l...r]之中查找target
int l = 0, r = n-1;
while( l <= r ){
//int mid = (l + r)/2;
// 防止极端情况下的整型溢出，使用下面的逻辑求出mid
int mid = l + (r-l)/2;
if( arr[mid] == target )
return mid;
if( arr[mid] > target )
r = mid - 1;
else
l = mid + 1;
}
return -1;
}
// 用递归的方式写二分查找法
template<typename T>
int __binarySearch2(T arr[], int l, int r, T target){
if( l > r )
return -1;
//int mid = (l+r)/2;
// 防止极端情况下的整形溢出，使用下面的逻辑求出mid
int mid = l + (r-l)/2;
if( arr[mid] == target )
return mid;
else if( arr[mid] > target )
return __binarySearch2(arr, l, mid-1, target);
else
return __binarySearch2(arr, mid+1, r, target);
}
template<typename T>
int binarySearch2(T arr[], int n, T target){
return __binarySearch2( arr , 0 , n-1, target);
}
// 比较非递归和递归写法的二分查找的效率
// 非递归算法在性能上有微弱优势
二分查找法的变种floor与ceil
当有序数组中存在大量重复键值时，
查找值的下限与上限。
查找v
// 二分查找法, 在有序数组arr中, 查找target
// 如果找到target, 返回第一个target相应的索引index
// 如果没有找到target, 返回比target小的最大值相应的索引, 如果这个最大值有多个, 返回最大索引
// 如果这个target比整个数组的最小元素值还要小, 则不存在这个target的floor值, 返回-1
template<typename T>
int floor(T arr[], int n, T target){
assert( n >= 0 );
// 寻找比target小的最大索引
int l = -1, r = n-1; //l取-1是为了标记当数组中没有target值时的下限
while( l < r ){
// 使用向上取整避免死循环
int mid = l + (r-l+1)/2;
if( arr[mid] >= target )
r = mid - 1;
else
l = mid;
}
assert( l == r );
// 如果该索引+1就是target本身, 该索引+1即为返回值
//当数组中存在target值，此时的l是target值闭区间左边的一个值
if( l + 1 < n && arr[l+1] == target )
return l + 1;
// 否则, 该索引即为返回值
return l;
}
// 二分查找法, 在有序数组arr中, 查找target
// 如果找到target, 返回最后一个target相应的索引index
// 如果没有找到target, 返回比target大的最小值相应的索引, 如果这个最小值有多个, 返回最小的索引
// 如果这个target比整个数组的最大元素值还要大, 则不存在这个target的ceil值, 返回整个数组元素个数n
template<typename T>
int ceil(T arr[], int n, T target){
assert( n >= 0 );
// 寻找比target大的最小索引值
int l = 0, r = n; //r取n的是为了标记数组中没有target值的上限
while( l < r ){
// 使用普通的向下取整即可避免死循环
int mid = l + (r-l)/2;
if( arr[mid] <= target )
l = mid + 1;
else // arr[mid] > target
r = mid;
}
assert( l == r );
// 如果该索引-1就是target本身, 该索引+1即为返回值
//当数组中存在target值，此时的r是target值闭区间右边的一个值
if( r - 1 >= 0 && arr[r-1] == target )
return r-1;
// 否则, 该索引即为返回值
return r;
}
二分搜索树
二分搜索树的优势：
查找表的实现，字典数据结构
不仅可查找数据，还可以高效地插入、删除数据-动态维护数据
可以方便地回答很多数据之间的关系问题：
min,max,floor(最接近某个结点的下限结点),ceil(最接近某个结点的上限结点),rank(某个结点在树中排名第几),select(找出排名为X的元素)
二分搜索树不一定是完全二叉树
以下的二叉搜索树树不支持重复元素。
若要支持的话可以设定结点左子树为小于等于该结点的子树，但这样会让树过大。那比较可行的方法是为结构体添加一个新的属性count来表示此结点的个数。
template <typename Key, typename Value>
class BST{
private:
// 树中的节点为私有的结构体, 外界不需要了解二分搜索树节点的具体实现
struct Node{
Key key;
Value value;
Node *left;
Node *right;
Node(Key key, Value value){
this->key = key;
this->value = value;
this->left = this->right = NULL;
}
Node(Node *node){
this->key = node->key;
this->value = node->value;
this->left = node->left;
this->right = node->right;
}
};
Node *root; // 根节点
int count; // 树中的节点个数
public:
// 构造函数, 默认构造一棵空二分搜索树
BST(){
root = NULL;
count = 0;
}
// 析构函数, 释放二分搜索树的所有空间
~BST(){
destroy( root );
}
// 返回二分搜索树的节点个数
int size(){
return count;
}
// 返回二分搜索树是否为空
bool isEmpty(){
return count == 0;
}
// 向二分搜索树中插入一个新的(key, value)数据对
void insert(Key key, Value value){
root = insert(root, key, value);
}
// 查看二分搜索树中是否存在键key
bool contain(Key key){
return contain(root, key);
}
// 在二分搜索树中搜索键key所对应的值。如果这个值不存在, 则返回NULL
Value* search(Key key){
return search( root , key );
}
// 二分搜索树的前序遍历
void preOrder(){
preOrder(root);
}
// 二分搜索树的中序遍历
void inOrder(){
inOrder(root);
}
// 二分搜索树的后序遍历
void postOrder(){
postOrder(root);
}
// 二分搜索树的层序遍历
void levelOrder(){
queue<Node*> q;
q.push(root);
while( !q.empty() ){
Node *node = q.front();
q.pop();
cout<<node->key<<endl;
if( node->left )
q.push( node->left );
if( node->right )
q.push( node->right );
}
}
// 寻找二分搜索树的最小的键值
Key minimum(){
assert( count != 0 );
Node* minNode = minimum( root );
return minNode->key;
}
// 寻找二分搜索树的最大的键值
Key maximum(){
assert( count != 0 );
Node* maxNode = maximum(root);
return maxNode->key;
}
// 从二分搜索树中删除最小值所在节点
void removeMin(){
if( root )
root = removeMin( root );
}
// 从二分搜索树中删除最大值所在节点
void removeMax(){
if( root )
root = removeMax( root );
}
// 从二分搜索树中删除键值为key的节点
void remove(Key key){
root = remove(root, key);
}
private:
// 向以node为根的二分搜索树中, 插入节点(key, value), 使用递归算法
// 返回插入新节点后的二分搜索树的根
Node* insert(Node *node, Key key, Value value){
if( node == NULL ){
count ++;
return new Node(key, value);
}
if( key == node->key )
node->value = value;
else if( key < node->key )
node->left = insert( node->left , key, value);
else // key > node->key
node->right = insert( node->right, key, value);
return node;
}
// 查看以node为根的二分搜索树中是否包含键值为key的节点, 使用递归算法
bool contain(Node* node, Key key){
if( node == NULL )
return false;
if( key == node->key )
return true;
else if( key < node->key )
return contain( node->left , key );
else // key > node->key
return contain( node->right , key );
}
// 在以node为根的二分搜索树中查找key所对应的value, 递归算法
// 若value不存在, 则返回NULL
Value* search(Node* node, Key key){
if( node == NULL )
return NULL;
if( key == node->key )
return &(node->value);
else if( key < node->key )
return search( node->left , key );
else // key > node->key
return search( node->right, key );
}
// 对以node为根的二分搜索树进行前序遍历, 递归算法
void preOrder(Node* node){
if( node != NULL ){
cout<<node->key<<endl;
preOrder(node->left);
preOrder(node->right);
}
}
// 对以node为根的二分搜索树进行中序遍历, 递归算法
void inOrder(Node* node){
if( node != NULL ){
inOrder(node->left);
cout<<node->key<<endl;
inOrder(node->right);
}
}
// 对以node为根的二分搜索树进行后序遍历, 递归算法
void postOrder(Node* node){
if( node != NULL ){
postOrder(node->left);
postOrder(node->right);
cout<<node->key<<endl;
}
}
// 释放以node为根的二分搜索树的所有节点
// 采用后续遍历的递归算法
void destroy(Node* node){
if( node != NULL ){
destroy( node->left );
destroy( node->right );
delete node;
count --;
}
}
// 返回以node为根的二分搜索树的最小键值所在的节点, 递归算法
Node* minimum(Node* node){
if( node->left == NULL )
return node;
return minimum(node->left);
}
// 返回以node为根的二分搜索树的最大键值所在的节点, 递归算法
Node* maximum(Node* node){
if( node->right == NULL )
return node;
return maximum(node->right);
}
// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点, 递归算法
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
Node* removeMin(Node* node){
if( node->left == NULL ){
Node* rightNode = node->right;
delete node;
count --;
return rightNode;
}
node->left = removeMin(node->left);
return node;
}
// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最大节点, 递归算法
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
Node* removeMax(Node* node){
if( node->right == NULL ){
Node* leftNode = node->left;
delete node;
count --;
return leftNode;
}
node->right = removeMax(node->right);
return node;
}
// 删除掉以node为根的二分搜索树中键值为key的节点, 递归算法
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
Node* remove(Node* node, Key key){
if( node == NULL )
return NULL;
if( key < node->key ){
node->left = remove( node->left , key );
return node;
}
else if( key > node->key ){
node->right = remove( node->right, key );
return node;
}
else{ // key == node->key
if( node->left == NULL ){
Node *rightNode = node->right;
delete node;
count --;
return rightNode;
}
if( node->right == NULL ){
Node *leftNode = node->left;
delete node;
count--;
return leftNode;
}
// node->left != NULL && node->right != NULL
Node *successor = new Node(minimum(node->right));
count ++;
successor->right = removeMin(node->right);
successor->left = node->left;
delete node;
count --;
return successor;
}
}
};
二叉搜索树的局限性
当序列1、2、3、4、5、6插入二叉搜索树时，它是退化成链表的
解决方案是：平衡二叉树，其中一种实现是——红黑树
其它的实现是：2-3 tree、AVL tree、Splay tree
课外话题：一种平衡二叉树和堆结合的数据结构——Treap。既保持了二叉树的性质又能进行堆那样具有优先级的操作。
二叉搜索树的floor与ceil
// 在以node为根的二叉搜索树中, 寻找key的floor值所处的节点, 递归算法
Node* floor(Node* node, Key key){
if( node == NULL )
return NULL;
// 如果node的key值和要寻找的key值相等
// 则node本身就是key的floor节点
if( node->key == key )
return node;
// 如果node的key值比要寻找的key值大
// 则要寻找的key的floor节点一定在node的左子树中
if( node->key > key )
return floor( node->left , key );
// 如果node->key < key
// 则node有可能是key的floor节点, 也有可能不是(存在比node->key大但是小于key的其余节点)
// 需要尝试向node的右子树寻找一下
Node* tempNode = floor( node->right , key );
if( tempNode != NULL )
return tempNode;
return node;
}
// 在以node为根的二叉搜索树中, 寻找key的ceil值所处的节点, 递归算法
Node* ceil(Node* node, Key key){
if( node == NULL )
return NULL;
// 如果node的key值和要寻找的key值相等
// 则node本身就是key的ceil节点
if( node->key == key )
return node;
// 如果node的key值比要寻找的key值小
// 则要寻找的key的ceil节点一定在node的右子树中
if( node->key < key )
return ceil( node->right , key );
// 如果node->key > key
// 则node有可能是key的ceil节点, 也有可能不是(存在比node->key小但是大于key的其余节点)
// 需要尝试向node的左子树寻找一下
Node* tempNode = ceil( node->left , key );
if( tempNode != NULL )
return tempNode;
return node;
}
};
二叉搜索树的successor与presuccessor
Key* predecessor(Key key){
Node *node = search(root, key);
// 如果key所在的节点不存在, 则key没有前驱, 返回NULL
if(node == NULL)
return NULL;
// 如果key所在的节点左子树不为空,则其左子树的最大值为key的前驱
if(node->left != NULL)
return &(maximum(node->left)->key);
// 否则, key的前驱在从根节点到key的路径上, 在这个路径上寻找到比key小的最大值, 即为key的前驱
Node* preNode = predecessorFromAncestor(root, key);
return preNode == NULL ? NULL : &(preNode->key);
}
// 查找key的后继, 递归算法
// 如果不存在key的后继(key不存在, 或者key是整棵二叉树中的最大值), 则返回NULL
Key* successor(Key key){
Node *node = search(root, key);
// 如果key所在的节点不存在, 则key没有前驱, 返回NULL
if(node == NULL)
return NULL;
// 如果key所在的节点右子树不为空,则其右子树的最小值为key的后继
if(node->right != NULL)
return &(minimum(node->right)->key);
// 否则, key的后继在从根节点到key的路径上, 在这个路径上寻找到比key大的最小值, 即为key的后继
Node* sucNode = successorFromAncestor(root, key);
return sucNode == NULL ? NULL : &(sucNode->key);
}
