定义

利率（interest rate），记为r，是一种收益率，它反映了不同日期发生的现金流之间的关系。

我们可以从3个角度来认识利率。首先，利率可以被认为是所要求的收益率，即投资者接受某项投资所要求的最低收益率。其次，收益率可以视为贴现率。最后，利率可以看作机会成本^[1]。

利率是由市场中的供给和需求决定的，投资者是资金的供给方，而借款者是资金的需求方。市场有风险，投资需谨慎，利率作为一种收益率，同样需要考虑风险，利率r可看作由实际无风险利率和4种风险溢价^[2]所组成的。
$r = 实际无风险利率 + 通货膨胀风险溢价 + 违约风险溢价 + 流动性风险溢价 + 到期日风险溢价$

实际无风险利率（real risk-free interest rate）是指在没有通货膨胀预期的调价下，完全无风险证券的单期利率。在经济理论中，实际无风险利率反映的是人们选择在当前或未来进行实际消费的时间偏好。
通货膨胀溢价（inflation premium）是对投资者所面临的预期通胀的补偿,它反映了从当前到债务到期期间预期的通货膨胀率。通货膨胀降低了单位货币的购买力，即降低了单位货币可以购买的商品或服务的数量。实际无风险利率与通货膨胀溢价之和称为名义无风险利率（nominal risk-free interest rate）^[3]。
违约风险溢价（default risk premium）是由于存在借款人未按照合同约定的时间和数额履行所承诺支付的可能性而给予投资者的补偿。
流动性^[4]溢价（liquidity premium）是由于投资需要迅速变现的情况下，存在相对于投资公允价值而言的损失风险，而给予投资者的补偿。
到期风险溢价（maturity premium）是指一般债权人可能偏好短期债务，因此对愈长期的债券所要求的补偿愈多，同一种类的债券的长期及短期利率之差，即为到期风险溢价。

计算

我们定义以下符号：
PV（present value）表示投资的现值
FV_N（future value）表示投资在N期^[5]后的终值
r 每期利率
r_s 名义年利率

1. 单利（simple interest）

只有本金（principal）在投资或借贷中产生利息，不管时间多长，所生利息均不加入本金重复计算利息。
$FV_N = PV(1+rN)$

2. 复利（compounding）

在投资或借贷中利息要并入本金（principal）重复计息，它是指每期的收益还可以产生收益，前一期由本金产生的利息要加入本金中，作为下一期计算利息的本金基数，知道每一期的利息都计算出来，加总之后，就得出整个借贷期内的利息，简单来说就是俗称的利滚利。
$FV_N = PV(1+r)^N$

2.1 复利的频数

这里介绍在1年中不止付息一次的投资问题。例如，许多银行提供在1年中复利12次的月度利率，在这样的安排下，银行每个月会支付利息的利息。金融机构通常会以年利率报价，而不是以周期性的月度利率报价，这个年利率称为名义年利率（stated annual inerest rate）或报价（年）利率（quoted interest rate），我们将名义年利率定义为r_s。按月复利^[6]计算最终利率会大于给定年利率。终止公式为：
$FV_N = PV(1 + \frac{r_s}{m})^{mN}$
式中，r_s为名义年利率；m为每年复利的次数；N为年数。

2.2. 连续复利

如果每天复利的期数变成无限多，那么这样的计息方式就被称为连续复利。如果我们想要对连续复利使用终止公式，就需要求解式（2.1）中终值因子在m-> $\infty$ （每年复利期数无限多）时的极限值。
$FV_N = PVe^{r_sN}$
e $\approx$ 2.7182818

3. 名义年利率和有效年利率

在（2.1）中，介绍了复利的频数问题，如果给定1年期年利率为8%，按月度复利，最终实际年利率接近8.3%。则对于月度复利的8%的名义年利率，其有效年利率（effective annual rate, EAR）为8.3%。有效年利率计算公式：
$EAR = \frac{(1 + \frac{r_s}{m})^{mN} - 1}{N}$
在连续复利的情况下，1年期的有效年利率公式为：
$EAR = e^{r_s}$

内容摘自<<量化投资分析（第三版）>>和MBA智库，建议大家去看原版书籍，如有侵权，请联系删除。

机会成本（opportunity cost）是指投资者由于采取某项特定的行动而放弃的价值。 ↩
风险溢价是指由于承担不同的风险所需要获得的额外报酬或补偿。 ↩
技术上来讲，1加上名义利率等于1加上实际利率和1加上通货膨胀率的乘积。然而，作为一种简便的近似，名义利率就等于实际无风险利率和通货膨胀利率率之和。 ↩
流动性：在较短的时间以接近市价的价格将资产转换为现金，则称该资产有较高的流动性。与之相对应，在较短时间内将某一资产转换为现金必须以远低（远高）于市价的价格出售（收购），则称该资产流动性较差。 ↩
N期可以指N日，N月，N年或其它约定的周期。 ↩
可以扩展为按季度复利，按日复利或其他约定周期。 ↩

1. 利率的定义与计算