三角形的最小路径和

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例 1：

输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
   2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

思路：

dp

代码：

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int len=triangle.size();
        int[][] dp=new int[len][len];
        dp[0][0]=triangle.get(0).get(0);
        if(len==1){return dp[0][0];}
        for(int i=1;i<len;i++){
            dp[i][0]=triangle.get(i).get(0)+dp[i-1][0];
        }
        for(int i=1;i<len-1;i++){
            for(int j=1;j<i;j++){
                dp[i][j]=triangle.get(i).get(j)+Math.min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j]);
            }
            dp[i][i]=triangle.get(i).get(i)+dp[i-1][i-1];
        }
        int res=dp[len-1][0];
        for(int i=1;i<len-1;i++){
            dp[len-1][i]=triangle.get(len-1).get(i)+Math.min(dp[len-2][i-1],dp[len-2][i]);
            res=Math.min(dp[len-1][i],res);
        }
        dp[len-1][len-1]=triangle.get(len-1).get(len-1)+dp[len-2][len-2];
        res=Math.min(dp[len-1][len-1],res);
        return res;
    }
}

改进思路：

对dp进行空间优化，达到O(n)的空间复杂度。同时这个思路是从底向上的，dp[i]表示的是第i列，我们并不需要表示行的j，因为实际上每一行都只和下一行相关，那么我们可以重复利用dp[]数组，它一次表示最后一行，倒数第二行.....直到第一行。

代码：

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n = triangle.size();
        int[] dp = new int[n + 1];
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        return dp[0];
    }
}

因为每次dp[i]只用到下一行的dp[i]和dp[i+1]，所以dp[i-1]的新值可以直接覆盖在dp[i-1]上，并不需要一个二维数组dp[2][i]作为滚动数组，一个dp[]数组就够了。同时这个代码把空间增大了1，用来方便处理边界条件。